一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $A$ 为 $4 \times 3$ 矩阵， $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 的 3 个线性无关的解， $k_1, k_2$ 为任意常数，则 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解为
$\text{A.}$ $\frac{\eta_2+\eta_3}{2}+k_1\left(\eta_2-\eta_1\right)$
$\text{B.}$ $\frac{\eta_2-\eta_3}{2}+k_2\left(\eta_2-\eta_1\right)$
$\text{C.}$ $\frac{\eta_2+\eta_3}{2}+k_1\left(\eta_3-\eta_1\right)+k_2\left(\eta_2-\eta_1\right)$
$\text{D.}$ $\frac{\eta_2-\eta_3}{2}+k_2\left(\eta_2-\eta_1\right)+k_3\left(\eta_3-\eta_1\right)$
矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a=0, b=2$
$\text{B.}$ $a=0 ， b$ 为任意常数
$\text{C.}$ $a=2, b=0$
$\text{D.}$ $a=2, b$ 为任意常数
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x=P y$ 下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ，其中 $P=\left(e_1, e_2, e_3\right)$ ，若 $Q=\left(e_1,-e_3, e_2\right)$ ，则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x=Q y$ 下的标准形为
$\text{A.}$ $2 y_1^2-y_2^2+y_3^2$
$\text{B.}$ $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$
$\text{C.}$ $2 y_1^2-y_2^2-y_3^2$
$\text{D.}$ $2 y_1^2+y_2^2+y_3^2$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x=P y$ 下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ，其中 $P=\left(e_1, e_2, e_3\right)$ ，若 $Q=\left(e_1,-e_3, e_2\right)$ ，则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x=Q y$ 下的标准形为
$\text{A.}$ $2 y_1^2-y_2^2+y_3^2$
$\text{B.}$ $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$
$\text{C.}$ $2 y_1^2-y_2^2-y_3^2$
$\text{D.}$ $2 y_1^2+y_2^2+y_3^2$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x=P y$ 下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ，其中 $P=\left(e_1, e_2, e_3\right)$ ，若 $Q=\left(e_1,-e_3, e_2\right)$ ，则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x=Q y$ 下的标准形为
$\text{A.}$ $2 y_1^2-y_2^2+y_3^2$
$\text{B.}$ $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$
$\text{C.}$ $2 y_1^2-y_2^2-y_3^2$
$\text{D.}$ $2 y_1^2+y_2^2+y_3^2$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+4 x_1 x_2+$ $4 x_1 x_3+4 x_2 x_3$ ，则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2$ 在空间直角坐标系下表示的二次曲面为
$\text{A.}$ 单叶双曲面
$\text{B.}$ 双叶双曲面
$\text{C.}$ 椭球面
$\text{D.}$ 柱面
设 $A, B$ 是可逆矩阵，且 $\boldsymbol{A}$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是
$\text{A.}$ $A^T$ 与 $B^T$ 相似
$\text{B.}$ $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似
$\text{C.}$ $A+A^T$ 与 $B+B^T$ 相似
$\text{D.}$ $A+A^{-1}$ 与 $B+B^{-1}$ 相似
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+2 x_1 x_2+$ $2 x_2 x_3+2 x_1 x_3$ 的正负惯性指数分别为 1,2 ，则
$\text{A.}$ $a>1$
$\text{B.}$ $a < -2$
$\text{C.}$ $-2 < a < 1$
$\text{D.}$ $a=1$ 或 $a=-2$
已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] ， B=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ， $C=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ ，则
$\text{A.}$ $A$ 与 $C$ 相似， $B$ 与 $C$ 相似
$\text{B.}$ $A$ 与 $C$ 相似， $B$ 与 $C$ 不相似
$\text{C.}$ $A$ 与 $C$ 不相似， $B$ 与 $C$ 相似
$\text{D.}$ $A$ 与 $C$ 不相似， $B$ 与 $C$ 不相似
已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ， $C=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ ，则
$\text{A.}$ $A$ 与 $C$ 相似， $B$ 与 $C$ 相似
$\text{B.}$ $A$ 与 $C$ 相似， $B$ 与 $C$ 不相似
$\text{C.}$ $A$ 与 $C$ 不相似， $B$ 与 $C$ 相似
$\text{D.}$ $A$ 与 $C$ 不相似， $B$ 与 $C$ 不相似
二、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+2 a x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 的负惯性指数是 1 ，则 $a$ 的取值范围是
设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $2,-2,1, B=A^2-A+E$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 $\mathbf{3}$ 阶单位矩阵，则行列式 $|\boldsymbol{B}|=$
设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $2,-2,1 ， B=A^2-A+E$ ，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵，则行列式 $|B|=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & a \\ 3 & 1 & -1\end{array}\right)$ 的一个特征向量为 $\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$ ， 则 $a=$
设 $A$ 为三阶矩阵， $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 为线性无关向量组. 若
$$
A \alpha_1=2 \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, A \alpha_2=\alpha_2+2 \alpha_3 ，
$$
$A \alpha_3=-\alpha_2+\alpha_3$ ，则 $A$ 的实特征值为 $\qquad$
三、解答题 （ 共 23 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $A$ 为三阶实对称矩阵， $A$ 的秩 $r(A)=2$ ，且
$$
A\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
0 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right) \text {. }
$$
（1）求 $A$ 的特征值与特征向量;
(2) 求矩阵 $\boldsymbol{A}$.
设 $A$ 为三阶实对称矩阵， $A$ 的秩 $r(A)=2$ ，且
$$
A\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
0 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right) .
$$
(1) 求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值与特征向量；
(2) 求矩阵 $\boldsymbol{A}$.
设 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right) ， \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$.
(1) 计算行列式 $|A|$;
(2) 当实数 $a$ 为何值时，方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 有无穷多解，并求其通解.
设 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right) ， \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$.
(1) 计算行列式 $|\boldsymbol{A}|$;
(2) 当实数 $a$ 为何值时，方程组 $A x=\beta$ 有无穷多解，并求其通解.
设 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right) ， \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$.
(1) 计算行列式 $|A|$;
(2) 当实数 $a$ 为何值时， $A x=\beta$ 有无穷多解，并并其通解.
设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & a \\ 1 & 0\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & b\end{array}\right)$ ，当 $a ， b$ 为何值时，存在矩阵 $C$ 使得 $A C-C A=B$ ，并求所有矩阵 $C$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2\left(a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3\right)^2$
$$
+\left(b_1 x_1+b_2 x_2+b_3 x_3\right)^2 》
$$
记 $\alpha=\left(\begin{array}{l}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{array}\right) ， \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right)$.
(1) 证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2 \alpha \alpha^T+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^T$ ；
(2) 若 $\alpha, \beta$ 正交且均为单位向量，证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2\left(a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3\right)^2$ $+\left(b_1 x_1+b_2 x_2+b_3 x_3\right)^2$. 记 $\alpha=\left(\begin{array}{l}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{array}\right), \quad \beta=\left(\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right)$.
(1) 证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2 \alpha \alpha^T+\beta \beta^T$;
(2) 若 $\alpha, \beta$ 正交且均为单位向量，证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2$.
设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & a \\ 1 & 0\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & b\end{array}\right)$ ，当 $a ， b$ 为何值时，存在矩阵 $C$ 使得 $A C-C A=B$ ，并求所有矩阵 $C$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2\left(a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3\right)^2$ $+\left(b_1 x_1+b_2 x_2+b_3 x_3\right)^2$. 记
$$
\alpha=\left(\begin{array}{l}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{array}\right) ， \quad \beta=\left(\begin{array}{l}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{array}\right) .
$$
(1) 证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2 \alpha \alpha^T+\boldsymbol{\beta} \beta^T$;
(2) 若 $\alpha, \beta$ 正交且均为单位向量，证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2$.
设 $A=\left(\begin{array}{rrrr}1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3\end{array}\right), E$ 为 3 阶单位矩阵.
(1) 求方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系；
(2) 求满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}$ 的所有矩阵 $B$.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{rrr}0 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & a\end{array}\right)$ 相似于矩阵
$$
B=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 3 & 1
\end{array}\right) \text {. }
$$
(1) 求 $a, b$ 的值;
(2) 求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
（1）求 $A^{99}$ ；
（2）设 3 阶矩阵 $B=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ 满足 $B^2=B A$ 。记 $B^{100}=\left(\beta_1, \beta_2, \beta_3\right)$ ，将 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 分别表示成 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的线性组合.
设矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & -1 \\ -1 & a & -1 \\ -1 & -1 & a\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ 等价，则 $a=$ ．
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
(1) 求 $A^{99}$ ；
(2) 设 3 阶矩阵 $B=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ 满足 $B^2=B A$. 记 $B^{100}=\left(\beta_1, \beta_2, \beta_3\right)$ ， 将 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 分别表示成 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合.
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
(1) 求 $A^{99}$ ；
（2）设 3 阶矩阵 $B=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ 满足 $B^2=B A$ 。记 $B^{100}=\left(\beta_1, \beta_2, \beta_3\right)$ ，将 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 分别表示成 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的线性组合.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2-x_2^2+a x_3^2+2 x_1 x_2$ $-8 x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 在正交变换 $x=Q y$ 下的标准型为 $\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2$. 求 $a$ 的值及一个正交矩阵 $Q$.
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ 有 3 个不同的特征值，且 $\alpha_3=\alpha_1+2 \alpha_2$ 。
(1) 证明 $r(A)=2$ ；
(2) 如果 $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$, 求方程组 $\boldsymbol{A x}=\beta$ 的通解.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2-x_2^2+a x_3^2+2 x_1 x_2$ $-8 x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 在正交变换 $x=Q y$ 下的标准型为
$$
\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2
$$
求 $a$ 的值及一个正交矩阵 $Q$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2-x_2^2+a x_3^2+2 x_1 x_2$ $-8 x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 在正交变换 $x=Q y$ 下的标准型为 $\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2$. 求 $a$ 的值及一个正交矩阵 $Q$
设实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2$ $+\left(x_1+a x_3\right)^2$ ，其中 $a$ 是参数.
(1) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解；
(2) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形.
设实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2$ $+\left(x_1+a x_3\right)^2$ ，其中 $a$ 是参数.
(1)求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解
(2) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 规范形.
设实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2$ $+\left(x_1+a x_3\right)^2$ ，其中 $a$ 是参数.
(1)求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解；
(2) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形.