一、解答题 （ 共 15 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{\sqrt{4 n^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{4 n^2+2}}+\cdots+\frac{n}{\sqrt{4 n^2+n}}\right)$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2+3 \sin x)^x-2^x}{\tan ^2 x-4 x^3}$.
已知曲线的极坐标方程是 $r=1-\cos \theta$ ，求该曲线上对应于 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 处的切线与法线的直角坐标方程.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_1=1, x_{n+1}=\frac{x_n+2}{x_n+1}\left(n \in \mathbb{Z}^{+}\right)$， 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在且求极限值 $A$.
证明导函数的介值性: 若 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可导且 $f_{+}^{\prime}(a) f_{-}^{\prime}(b) < 0$ ，则存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$.
计算定积分 $I=\int_0^1 x^3 \sqrt{1-x^2} \mathrm{~d} x$.
设抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 过原点, 当 $0 \leq x \leq 1$ 时, $y \geq 0$, 又该抛物线与直线 $x=1$ 及 $x$ 轴 围成平面图形的面积为 $\frac{1}{3}$, 求 $a, b, c$ 使该图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体体积 $\mathrm{V}$ 最小
证明方程 $\ln x=\frac{x}{\mathrm{e}}-2021$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内只有两个不同的实根.
求曲线 $x^4+x^2 y-y^3=1$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程.
求函数 $f(x)=x^4-4 x^3$ 的单调区间和极值.
计算 $\int \frac{1}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}} \mathrm{~d} x$.
计算 $\int_{-\infty}^0 x e^x \mathrm{~d} x$.
计算不定积分 $\int \frac{x+1}{x^2-2 x+5} d x$
计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x+\sin x}{1+\cos x} d x$
计算定积分 $I=\int_0^1 x^3 \sqrt{1-x^2} \mathrm{~d} x$.