一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
若 $f(x)=\int_0^{2 x} t \sin (x-t)^2 \mathrm{~d} t$, 则 $f^{\prime \prime}\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right)=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
若 $z=z(x, y)$ 可微, 且满足方程 $y \frac{\partial z}{\partial x}+(2 x+1) \frac{\partial z}{\partial y}=0$, 则 $z(x, y)$ 的等值线是
$\text{A.}$ 椭圆曲线族.
$\text{B.}$ 双曲线族.
$\text{C.}$ 拋物线族.
$\text{D.}$ 直线族.
若函数 $f$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$, 则在下列四项函数性质:
(1) $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$;
(2) $f^{\prime}(x) < 0$;
(3) $f(x)>0$;
(4) $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty$ 中
$\text{A.}$ $f$ 仅有第 (1) 项性质.
$\text{B.}$ $f$ 仅有第 (1), (2) 两项性质.
$\text{C.}$ $f$ 仅有第 (1), (2), (3) 三项性质.
$\text{D.}$ $f$ 具有全部四项性质.
已知函数 $f(x)$ 可微, 则 $f(x)=$
$\text{A.}$ $\int \mathrm{d} f(x) \quad$
$\text{B.}$ $\mathrm{d}\left(\int f(x) \mathrm{d} x\right)$
$\text{C.}$ $\left(\int f(x) \mathrm{d} x\right)^{\prime}$
$\text{D.}$ $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$
设 $f(x)$ 满足 $f^{\prime}(0)=0, f^{\prime}(x)+[f(x)]^3=x^2$, 则
$\text{A.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值.
$\text{B.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值.
$\text{C.}$ $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极值, $(0, f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
点 $P(1,0,1)$ 到直线 $\left\{\begin{array}{l}x-y-z+1=0, \\ x+y-3 z=0\end{array}\right.$ 的距离 $d=$ （ ）
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$.
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$.
设函数 $f(x, y)$ 连续, $f(0,0)=0$, 又设 $F(x, y)=|x-y| f(x, y)$, 则 $F(x, y)$ 在点 $(0,0)$处
$\text{A.}$ 连续; 但不可微.
$\text{B.}$ 连续, 但偏导数不存在.
$\text{C.}$ 偏导数存在, 但不可微.
$\text{D.}$ 可微.
二、填空题 （共 14 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $y=\ln \left(x^2+e^{3 x}\right)$, 则 $d y=$
位于曲线 $y=\frac{e^x}{1+e^{2 x}}(x \geq 0)$ 下方、 $x$ 轴上方的无界图形的面积为
设某商品的需求函数为 $Q=100-2 p^2$, 则当 $p=5$ 时的边际需求为
设 $f(x y)=x^2+2 y^2$, 求其在 $(0,1)$ 处的最大方向导数
设函数 $y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime}+\frac{1}{2 \sqrt{x}} y=2+\sqrt{x}$ 满足条件 $y(1)=3$ 的解, 求 $y(x)$ 的渐进线.
若 $f(x)$ 可导, $y=f\left(e^x\right)$, 则 $d y=$
函数 $f(x)=\frac{1}{1-x}$, 则 $f^{(n)}(0)=$
曲线 $y=x^2-1$ 在其顶点处的曲率 $K$ 是
设函数 $f(x, y)$ 可微. 若已知 $f$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处沿 $\boldsymbol{l}_1=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}$ 和 $\boldsymbol{l}_2=\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}$ 的方向导数分别为 $\frac{\partial f(P)}{\partial \boldsymbol{l}_1}=m_1$ 和 $\frac{\partial f(P)}{\partial \boldsymbol{l}_2}=m_2$, 且 $m_1^2+m_2^2 \neq 0$, 则 $f(x, y)$ 在点 $P$ 处变化最快的方向是
设 $y=\mathrm{e}^{\sqrt{\cos x}}$, 则 $\mathrm{d} y=$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\int_0^{1-t} \mathrm{e}^{-u^2} \mathrm{~d} u \\ y=t^2 \ln \left(2-t^2\right)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为
设 $y=\sin ^2x$, 则 $y^{(8)}(0)=$ ________ .
曲线 $y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x}\right)(x>0)$ 的渐近线方程为
已知可微函数 $f(x, y)$ 满足 $f(t x, t y)=t f(x, y), t>0$, 且 $f_1(1,-2)=4$, 则曲面 $z=$ $f(x, y)$ 在点 $P_0(1,-2,2)$ 处的切平面方程为
三、解答题 （ 共 14 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x^3+y^3-3 x+3 y-2=0$ 确定, 求函数 $y=y(x)$ 在 $x=1, y=1$处的一阶导数值、二阶导数值。
设 $y=e^{f(\sin 2 x)}$, 其中 $f$ 具有二阶导数, 求 $\frac{d y}{d x}, \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$ 。
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t^2+7 \\ y=t^2+4 t+1\end{array}\right.$ 所确定, 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{d^2 y}{d x^2}$ 。
考察函数 $y=\frac{x^2+3 x+2}{2(x-1)}$ 的铅直渐近线、水平渐近线、斜渐近线。
某产品的需求量 $Q$ 对价格 $P$ 的函数是 $Q=200-P$, 设成本 $C$ 是 $Q$ 的函数: $C=C(Q)$, 已知平均成本为 $\bar{C}(Q)=Q+4$, 欲使利润最大, 价格应定为多少?
设 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^2 \\ y=1+t^3\end{array}\right.$, 求 $\frac{d y}{d x}, \frac{d^2 y}{d x^2}$.
求函数 $y=\ln \left(x^2+1\right)$ 的图形的拐点和凹凸区间
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x=\int_1^{y+x} e^{-u^2} d u$ 所确定, 求 $y(0), y^{\prime}(0)$ 和 $y^{\prime \prime}(0)$
设 $f(x)$ 有二阶连续导数, 在 $x=0$ 的去心邻域内 $f(x) \neq 0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, \lim _{x \rightarrow 0}\left[1+x+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}=e^3$,求 $f^{\prime \prime}(0)$ 及 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[1+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}$
过点 $(1,0)$ 作抛物线 $y=\sqrt{x-2}$ 的切线. (1) 求该切线方程; (2) 求由这条切线、抛物线及 $x$ 轴所围成的平面图形面积; (3) 求 (2) 中平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积.
设 $f(x)=\sqrt{x-\ln (1+x)}, x \in[0,+\infty)$, 求 $f^{\prime}(0)$ 和 $f^{\prime \prime}(0)$.
求由曲线 $ y=2 x, x y=2, y=\frac{x^2}{4} $ 所围成平面图形的面积.
求 $y=x^{\sin x}(x>0)$ 的导数 $y^{\prime}(x)$.
设 $y=y(x)$ 是由方程 $\mathrm{e}^{-y}-y+\int_0^x\left(\mathrm{e}^{-t^2}+1\right) \mathrm{d} t=1$ 所确定的隐函数.
(1) 证明 $y(x)$ 是单调增加函数;
（2）当 $x \rightarrow+\infty$ 时, 曲线 $y^{\prime}(x)$ 是否有水平渐近线, 若有, 求出其渐近线方程, 若没有, 说明理由.