一、解答题 （ 共 29 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算 $\boldsymbol{I}=\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{y}} e^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{1}{2}}^1 \mathrm{~d} y \int_y^{\sqrt{y}} e^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x$
设矩阵 $X$ 满足 $A X+I=A^2+X$ ，其中 $I$ 为三阶单位阵，又已知 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，试求出矩阵 $X$.
求 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3+x}{6+x}\right)^{\frac{x-1}{2}}$
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y-x e^y=1$ 所确定，求 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}$ 的值.
求 $\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} \mathrm{~d} x$.
求 $\int_0^\pi \sqrt{1-\sin x} \mathrm{~d} x$.
求微分方程 $\left(y-x^3\right) \mathrm{d} x-2 x \mathrm{~d} y=0$ 的通解.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+x^2, & x \leq 0 \\ e^{-x}, & x>0\end{array}\right.$ ，求 $\int_1^3 f(x-2) \mathrm{d} x$.
求微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=x e^x$ 的通解.
计算曲线 $y=\ln \left(1-x^2\right)$ 上相应于 $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 的一段弧的长度.
求曲线 $y=\sqrt{x}$ 的一条切线 $l$ ，使该曲线与切线 $l$ 及直线 $x=0, x=2$ 所围成的平面图形面积最小.
设 $f^{\prime \prime}(x) < 0, f(0)=0$ ，证明: 对任何 $x_1>0, x_2>0$,恒有 $f\left(x_1+x_2\right) < f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)$.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \cos (x-1)}{1-\sin \frac{\pi}{2} x}, & x \neq 1 \\ 1, & x=1\end{array}\right.$ ，问函数 $f(x)$在 $x=1$ 处是否连续? 若不连续，修改函数在 $x=1$ 处的定义使之连续.
计算 $I=\int \frac{\operatorname{arccot} e^x}{e^x} \mathrm{~d} x$.
求连续函数 $f(x)$ ，使它满足
$$
\int_0^1 f(t x) \mathrm{d} t=f(x)+x \sin x .
$$
求连续函数 $f(x)$ ，使它满足
$$
f(x)+2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t=x^2 .
$$
求证: 方程 $x+p+q \cos x=0$ 恰有一个实根，其中 $p, q$ 为常数，且 $0 < q < 1$.
给定曲线 $y=\frac{1}{x^2}$ ，
(1) 求曲线在横坐标为 $x_0$ 的点处的切线方程;
(2) 求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度.
求证: 当 $x \geq 1$ 时，
$$
\arctan x-\frac{1}{2} \arccos \frac{2 x}{1+x^2}=\frac{\pi}{4} .
$$
设曲线方程为 $y=e^{-x}(x \geq 0)$.
(1) 把曲线 $y=e^{-x} 、 x$ 轴、 $y$ 轴和直线 $x=\xi(\xi>0)$ 所围平面图形绕 $x$ 轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体体积 $V(\xi)$ ；并求满足 $V(a)=\frac{1}{2} \lim _{\xi \rightarrow+\infty} V(\xi)$ 的 $a$.
(2) 在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积.
设 $z=\sin (x y)+\varphi\left(x, \frac{x}{y}\right)$ ，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ，其中 $\varphi(u, v)$有二阶偏导数.
设生产某产品的固定成本为 10 ，而当产量为 $x$ 时的边际成本函数为
$$
M C=-40-20 x+3 x^2,
$$
边际收入函数为 $M R=32+10 x$ ，试求:
(1) 总利润函数；
(2) 使总利润最大的产量.
已知实矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 满足条件:
(1) $A_{i j}=a_{i j}(i, j=1,2,3)$ ，其中 $A_{i j}$ 是 $a_{i j}$ 的代数余子式；
(2) $a_{11} \neq 0$.
计算行列式 $|\mathbf{A}|$.
设矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，其中
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
-2 & 0 & 0 \\
2 & x & 2 \\
3 & 1 & 1
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & y
\end{array}\right) .
$$
(1) 求 $x$ 和 $y$ 的值；
(2) 求可逆矩阵 $P$ ，使得 $\mathrm{P}^{-1} A P=B$.
已知三阶矩阵 $\boldsymbol{B} \neq 0$ ，且 $\boldsymbol{B}$ 的每一个列向量都是以下方程组的解：
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+2 x_2-2 x_3=0 \\
2 x_1-x_2+\lambda x_3=0 \\
3 x_1+x_2-x_3=0
\end{array}\right.
$$
(1) 求 $\lambda$ 的值;
(2) 证明 $|B|=0$
设 $A, B$ 分别为 $m, n$ 阶正定矩阵，试判定分块矩阵
$C=\left(\begin{array}{ll}A & 0 \\ 0 & B\end{array}\right)$ 是否是正定矩阵.
假设测量的随机误差 $X \sim N\left(0,10^2\right)$, 试求在 100 次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率 $\alpha$ ，并利用泊松分布求出 $\alpha$ 的近似值(要求小数点后取两位有效数字).【附表】
一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 $0.10,0.20$ 和 0.30 ，假设各部件的状态相互独立，以 $X$ 表示同时需要调的部件数，试求 $\boldsymbol{X}$ 的数学期望 $E X$ 和方差 $D X$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
e^{-y} & 0 < x < y \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
求: (1) 随机变量 $X$ 的密度 $f_X(x)$ ；
(2) 概率 $P\{X+Y \leq 1\}$.