解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\boldsymbol{I}=\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{y}} e^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{1}{2}}^1 \mathrm{~d} y \int_y^{\sqrt{y}} e^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x$
设矩阵 $X$ 满足 $A X+I=A^2+X$ ，其中 $I$ 为三阶单位阵，又已知 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，试求出矩阵 $X$.
求 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3+x}{6+x}\right)^{\frac{x-1}{2}}$
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y-x e^y=1$ 所确定，求 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}$ 的值.
求 $\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} \mathrm{~d} x$.
求 $\int_0^\pi \sqrt{1-\sin x} \mathrm{~d} x$.