一、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设曲线方程为 $y=e^{-x}(x \geq 0)$.
(1) 把曲线 $y=e^{-x} 、 x$ 轴、 $y$ 轴和直线 $x=\xi(\xi>0)$ 所围平面图形绕 $x$ 轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体体积 $V(\xi)$ ；并求满足 $V(a)=\frac{1}{2} \lim _{\xi \rightarrow+\infty} V(\xi)$ 的 $a$.
(2) 在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积.
设 $z=\sin (x y)+\varphi\left(x, \frac{x}{y}\right)$ ，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ，其中 $\varphi(u, v)$有二阶偏导数.
设生产某产品的固定成本为 10 ，而当产量为 $x$ 时的边际成本函数为
$$
M C=-40-20 x+3 x^2,
$$
边际收入函数为 $M R=32+10 x$ ，试求:
(1) 总利润函数；
(2) 使总利润最大的产量.
已知实矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 满足条件:
(1) $A_{i j}=a_{i j}(i, j=1,2,3)$ ，其中 $A_{i j}$ 是 $a_{i j}$ 的代数余子式；
(2) $a_{11} \neq 0$.
计算行列式 $|\mathbf{A}|$.
设矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，其中
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
-2 & 0 & 0 \\
2 & x & 2 \\
3 & 1 & 1
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & y
\end{array}\right) .
$$
(1) 求 $x$ 和 $y$ 的值；
(2) 求可逆矩阵 $P$ ，使得 $\mathrm{P}^{-1} A P=B$.
已知三阶矩阵 $\boldsymbol{B} \neq 0$ ，且 $\boldsymbol{B}$ 的每一个列向量都是以下方程组的解：
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+2 x_2-2 x_3=0 \\
2 x_1-x_2+\lambda x_3=0 \\
3 x_1+x_2-x_3=0
\end{array}\right.
$$
(1) 求 $\lambda$ 的值;
(2) 证明 $|B|=0$
设 $A, B$ 分别为 $m, n$ 阶正定矩阵，试判定分块矩阵
$C=\left(\begin{array}{ll}A & 0 \\ 0 & B\end{array}\right)$ 是否是正定矩阵.
假设测量的随机误差 $X \sim N\left(0,10^2\right)$, 试求在 100 次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率 $\alpha$ ，并利用泊松分布求出 $\alpha$ 的近似值(要求小数点后取两位有效数字).【附表】
一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 $0.10,0.20$ 和 0.30 ，假设各部件的状态相互独立，以 $X$ 表示同时需要调的部件数，试求 $\boldsymbol{X}$ 的数学期望 $E X$ 和方差 $D X$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
e^{-y} & 0 < x < y \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
求: (1) 随机变量 $X$ 的密度 $f_X(x)$ ；
(2) 概率 $P\{X+Y \leq 1\}$.