一、单选题 （共 11 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的样本, $\bar{x}, s^2$ 分别为样本均值和样本方差,则 $\frac{(n-1) s^2}{\sigma^2} \sim$
$\text{A.}$ ${\chi}^2(n-1)$
$\text{B.}$ $\chi^2(n)$
$\text{C.}$ $t(n-1)$
$\text{D.}$ $t(n)$
甲乙二人分别向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率均为 $\frac{1}{2}$, 甲射击 4 次, 乙射击 3 次,则甲命中次数大于乙命中次数的概率为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$.
设 $f_1(x)$ 为标准正态分布的概率密度, $f_2(x)$ 为 $[-1,3]$ 上的均匀分布的概率密度, 若 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}a f_1(x), x \leq 0 \\ b f_2(x), x>0\end{array}(a>0, b>0)\right.$ 为随机变量的概率密度, 则 $a, b$ 应满足
$\text{A.}$ $2 a+3 b=4$
$\text{B.}$ $3 a+2 b=4$
$\text{C.}$ $a+b=1$
$\text{D.}$ $a+b=2$
设随机变量 $X$ 在区间 $(1,2)$ 内服从均匀分布, 在 $X=x$ 的条件下, 随机变量 $Y$ 服从参数为 $x$ 的指数分布. 则 $E(X Y)=$
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
设 $X \sim N(1,4), Y \sim B\left(3, \frac{1}{4}\right)$, 且 $X, Y$ 相互独立, 则 $P\{X Y+1>X+Y\}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{37}{128}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{37}{64}$
设总体 $X$ 与 $Y$ 相互独立且都服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right), \bar{X}, \bar{Y}$ 是分别来自总体 $X, Y$, 容量都为 $n$的样本的样本均值, 则当 $n$ 固定时, 概率 $P\{|\bar{X}-\bar{Y}|>\sigma\}$ 的值随 $\sigma$ 的增大而
$\text{A.}$ 单调增大
$\text{B.}$ 单调减小
$\text{C.}$ 保持不变
$\text{D.}$ 增减不定
设总体 $X \sim N\left(\mu_1, 4\right), Y \sim N\left(\mu_2, 5\right), X$ 与 $Y$ 相互独立, $X_1, \cdots, X_8$ 和 $Y_1, \cdots, Y_{10}$ 是分别来自总体 $X$ 和 $Y$ 的两个样本, $S_X^2$ 与 $S_Y^2$ 分别为两个样本的样本方差, 则
$\text{A.}$ $\frac{2 S_X^2}{5 S_Y^2} \sim F(7,9)$
$\text{B.}$ $\frac{5 S_X^2}{2 S_Y^2} \sim F(7,9)$
$\text{C.}$ $\frac{4 S_X^2}{5 S_Y^2} \sim F(7,9)$
$\text{D.}$ $\frac{5 S_X^2}{4 S_Y^2} \sim F(7,9)$
设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 为来自总体 $N\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 的简单随机样本, 则统计量 $Y=\frac{X_1-X_2}{\sqrt{X_3^2+X_4^2}}$ 服从
$\text{A.}$ $N(0,1)$
$\text{B.}$ $\chi^2(2)$
$\text{C.}$ $t(2)$
$\text{D.}$ $F(2,2)$
设总体 $X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=\frac{1-\theta}{2}, P\{X=2\}=P\{X=3\}=\frac{1+\theta}{4}$. 利用来自总体 $X$ 的样本值 $1,3,2,2,1,3,1,2$, 可得 $\theta$ 的最大似然估计值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{8}$
一批零件的长度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\mu, \sigma^2$ 均未知. 现从中随机抽取 16 个零件, 测得样本均值 $\bar{x}=20 \mathrm{~cm}$, 样本标准差 $s=1 \mathrm{~cm}$, 则 $\mu$ 的置信水平为 0.90 的置信区间为
$\text{A.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(16), 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(16)\right)$
$\text{B.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}(16), 20+\frac{1}{4} t_{0.1}(16)\right)$
$\text{C.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(15), 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(15)\right)$
$\text{D.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}(15), 20+\frac{1}{4} t_{0.1}(15)\right)$
一) 在假设检验中, 显著性水平 $\alpha$ 的意义是
$\text{A.}$ 原假设 $H_0$ 成立, 经检验被拒绝的概率
$\text{B.}$ 原假设 $H_0$ 成立, 经检验被接受的概率
$\text{C.}$ 原假设 $H_0$ 不成立, 经检验被拒绝的概率
$\text{D.}$ 原假设 $H_0$ 不成立, 经检验被接受的概率
二、解答题 （ 共 9 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant \sqrt{y}, 0 \leqslant y \leqslant 1\}$, 二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}6 x y, & (x, y) \in D, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
(I) 判断 $X, Y$ 是否相互独立;
(II) 求 $Z=\sqrt{X^2+Y}$ 的分布函数.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且分别服从正态分布 $\mathrm{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ 与 $\mathrm{N}\left(2 \mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\sigma>0$ 为末知参数, 记 $Z=2 X-Y$.
(I) 求 $Z$ 的概率密度 $f(z)$;
(II) 设 $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 为来自总体 $Z$ 的简单随机样本, 求 $\sigma^2$ 的极大似然估计量 $\hat{\sigma}^2$;
(III) 求 $\mathrm{E}\left(\hat{\sigma}^2\right)$ 和 $\mathrm{D}\left(\hat{\sigma}^2\right)$.
设产品寿命 $X$ (小时) 服从参数 $a=0.001$ 的指数分布。
(1) 从中任取一个产品, 求寿命大于 1000 的概率;
（2）从中任取 5 个产品, 求至少有一个寿命大于 1000 的概率;
（3）从中任取一个产品, 使用到 1000 小时时还没有失效, 求再使用 1000 小时的概率。
已知编号为 1 的盒子中装有 2 个白球和 1 个红球, 编号为 2 的盒子中装有 3 个白球, 现随机各取一球, 交换放人另一个盒子中, 交换两次, 记 $X$ 为红球所在盒子的编号, $Y$ 服从参数为 1 的指数分布, 随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 令 $Z=\frac{Y}{X}$.
(I) 求 $Z$ 的概率密度;
( II) $Y$ 与 $Z$ 是否相互独立?
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_x(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 e^{-2 x} & x>0 \\ 0 & \text { 其他 }\end{array}\right.$, 若 $Y=1-e^{-2 X}$, 求 $Y$ 的概率密度 $f_Y(y)$ 。
已知 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), Y=\mathrm{e}^X$.
(1) 求随机变量 $Y$ 的分布函数;
(2) 设 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 是总体 $Y$ 的简单随机样本, 若 $\sigma^2$ 已知, 求参数 $\mu$ 的矩估计量;
(3) 若 $\sigma^2$ 未知, 求参数 $\mu$ 与 $\sigma^2$ 的最大似然估计量.
设某种电子器件的寿命 (以 $\mathrm{h}$ 计) $T$ 服从双参数的指数分布, 其概率密度为
$$
f(t)= \begin{cases}\frac{1}{\theta} \mathrm{e}^{-(t-c) / \theta}, & t \geqslant c, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $c, \theta(c, \theta>0)$ 为未知参数. 自一批这种器件中随机地取 $n$ 件进行寿命试验.设它们的失效时间依次为 $x_1 \leqslant x_2 \leqslant \cdots \leqslant x_n$.
(1) 求 $\theta$ 与 $c$ 的最大似然估计值.
(2) 求 $\theta$ 与 $c$ 的矩估计量.
设总体 $(X, Y)$ 的分布函数为
$$
F(x, y)= \begin{cases}0, & x < 0 \text { 或 } y < \theta, \\ p\left[1-\mathrm{e}^{-(y-\theta)}\right], & 0 \leqslant x < 1, y \geqslant \theta, \\ 1-\mathrm{e}^{-(y-\theta)}, & x \geqslant 1, y \geqslant \theta .\end{cases}
$$
其中 $p, \theta$ 为末知参数, 且 $0 < p < 1$.
(I) 求 $X$ 的概率分布和 $Y$ 的概率密度, 并判别 $X$ 和 $Y$ 的独立性;
(II) 求 $Z=X+Y$ 的概率密度 $f_Z(z)$.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{6 x}{\theta^3}(\theta-x), & 0 < x < \theta, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本. 求:
(1) $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$;
(2) $\hat{\theta}$ 的方差 $D \hat{\theta}$.