单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N\left(0,0 ; 1,1 ; \frac{1}{2}\right)$, 则
$\text{A.}$ $\frac{(X+Y)^2}{3(X-Y)^2} \sim F(1.1)$.
$\text{B.}$ $X^2+Y^2 \sim \chi^2(2)$.
$\text{C.}$ $\frac{X}{|Y|} \sim t(1)$.
$\text{D.}$ $\frac{(X+Y)^2}{2} \sim \chi^2(1)$.
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0), X_1, X_2, \cdots, X_{2 n}(n \geq 2)$ 为来自该总体的简单随机样本, 其样本均值为 $\bar{X}=\frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^{2 n} X_i$. 记统计量
$$
Y_1=\sum_{i=1}^{2 n}\left(X_i-\bar{X}\right)^2, Y_2=\sum_{i=1}^n\left(X_i-X_{n+i}\right)^2, Y_3=\sum_{i=1}^n\left(X_i+X_{n+i}-2 \bar{X}\right)^2 \text {, }
$$
则这 3 个统计量的数学期望 $E\left(Y_1\right), E\left(Y_2\right), E\left(Y_3\right)$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $E\left(Y_1\right)>E\left(Y_2\right)>E\left(Y_3\right)$
$\text{B.}$ $E\left(Y_1\right)>E\left(Y_3\right)>E\left(Y_2\right)$
$\text{C.}$ $E\left(Y_3\right)>E\left(Y_1\right)>E\left(Y_2\right)$
$\text{D.}$ $E\left(Y_2\right)>E\left(Y_1\right)>E\left(Y_3\right)$
设总体 $X \sim N(\mu, 1), Y \sim N(\mu, 1)$, 且 $X, Y$ 相互独立, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 与 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 分别来自总体 $X, Y$ 的简单随机样本, 设 $X=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, Y=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i, S_X^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$, $S_Y^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2$, 则 $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\bar{Y})}{\sqrt{S_X^2+S_Y^2}}$ 服从
$\text{A.}$ $t(n-1)$
$\text{B.}$ $t(n)$
$\text{C.}$ $t(2 n)$
$\text{D.}$ $t(2 n-2)$
设总体 $X$ 与 $Y$ 相互独立且都服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right), \bar{X}, \bar{Y}$ 是分别来自总体 $X, Y$, 容量都为 $n$的样本的样本均值, 则当 $n$ 固定时, 概率 $P\{|\bar{X}-\bar{Y}|>\sigma\}$ 的值随 $\sigma$ 的增大而
$\text{A.}$ 单调增大
$\text{B.}$ 单调减小
$\text{C.}$ 保持不变
$\text{D.}$ 增减不定
设总体 $X \sim N\left(\mu_1, 4\right), Y \sim N\left(\mu_2, 5\right), X$ 与 $Y$ 相互独立, $X_1, \cdots, X_8$ 和 $Y_1, \cdots, Y_{10}$ 是分别来自总体 $X$ 和 $Y$ 的两个样本, $S_X^2$ 与 $S_Y^2$ 分别为两个样本的样本方差, 则
$\text{A.}$ $\frac{2 S_X^2}{5 S_Y^2} \sim F(7,9)$
$\text{B.}$ $\frac{5 S_X^2}{2 S_Y^2} \sim F(7,9)$
$\text{C.}$ $\frac{4 S_X^2}{5 S_Y^2} \sim F(7,9)$
$\text{D.}$ $\frac{5 S_X^2}{4 S_Y^2} \sim F(7,9)$
设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 为来自总体 $N\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 的简单随机样本, 则统计量 $Y=\frac{X_1-X_2}{\sqrt{X_3^2+X_4^2}}$ 服从
$\text{A.}$ $N(0,1)$
$\text{B.}$ $\chi^2(2)$
$\text{C.}$ $t(2)$
$\text{D.}$ $F(2,2)$