一、填空题 （共 3 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\int_0^7 \sqrt{\frac{x}{2-x}} \mathrm{~d} x=$
设某商品的需求函数 $Q=Q(p)$, 需求弹性 $\eta=\frac{p}{60-p}(\eta>0), p$ 为单价 (万元), 则当 $p=10$万元时, 商品的总收益对白身价格的弹性 $\eta_1$ 为
设随机变量 $X$ 的概率分布满足 $3 P\{X=k+1\}=P\{X=k\}, k=1,2,3, \cdots$, 则 $P\{X>5 \mid X \geqslant 3\}=$
二、解答题 （ 共 6 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上 连续. 且满足 $f(x)+\int_0^x t f(x-t) \mathrm{d} t=x$, 区域 $D$ 是由曲线 $y=$ $f(x)$ ' $^{\prime} y=f(2 x)$ | $y$ 成的平面图形.求 $D$ 的面积及 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积.
设函数 $f(u)$ 具有连续导数, $z=x f\left(\frac{y}{x}\right)+y f\left(\frac{y}{x}\right)$ 满足 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y}{x}$, 若 $f(1)=1$, 求 $f(u)$ 的表达式.
计算二重积分 $\iint_D \frac{(x-y)^2+2}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \geqslant 2, x \leqslant 1\right\}$.
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_0=1, a_1=0, a_{n+1}=2 a_{n-1}-a_n(n=1,2,3, \cdots), S(x)$ 是幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n!} x^n$ 的和函数. 求 $S(x)$ 与 $a_n$ 的表达式.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ a_1 & 4 & a_2 & a_3 \\ 2 & 7 & 5 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{B}$ 为 $2 \times 4$ 矩阵, $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系为 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,-2,3,-1)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\alpha}_2=(0,1,-2,1)^{\top}$.
(I) 求矩阵 $\boldsymbol{B}$;
(II) 若方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 同解,求 $a_1, a_2, a_3, a_1$ 的值;
(III) 求方程组 $\boldsymbol{A} x=\mathbf{0}$ 满足 $x_3=-x_1$ 的全部解.
设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的指数分布.
(I) 求 $Y=[X]+1$ 的概率分布, 并求 $E Y$;
(II) 求 $Z=X-[X]$ 的概率密度, 并求 $E Z$.