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初中数学

数学

一、解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
1. 如图, O,R 是同一水平线上的两点, 无人机从 O 点坚直上升到 A 点时, 测得 A 到 R 点的距离为 40m,R 点的俯角为 24.2∘, 无人机继续坚直上升到 B 点, 测得 R 点的俯角为 36.9∘. 求无人机从 A 点到 B 点的上升 高度 AB (精确到 0.1 m ). 参考数据: sin⁡24.2∘≈0.41,cos⁡24.2∘≈0.91,tan⁡24.2∘≈0.45,sin⁡36.9∘≈ 0.60,cos⁡36.9∘≈0.80,tan⁡36.9∘≈0.75.

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2. 如图，某电信公司计划修建一条连接 B、C 两地的电缆．测量人员在山脚 A 点测得 B、C 两地的仰角分别为 30∘、45∘ ，在 B 处测得C地的仰角为 60∘ ，已知 C 地比 A 地高 200 m ，求电缆 BC 的长. (结果可保留根号)

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3. 甲、乙两名队员参加射击训练(各射击 10 次), 成绩分别被制成下列两个统计图:根据以上信息, 整理分析数据如下表:




(1)写出表格中 a,b,c 的值;
(2) 计算出 d 的值;
(3)分别运用表中的统计量, 简要分析这两名队员的射击成绩, 若选派其中一名参赛, 你认为应选哪名队员?

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4. 阅读下列两则材料, 回答问题
材料一: 我们将 (a+b) 与 (a−b) 称为一对“对偶式”
因为 (a+b)(a−b)=(a)2−(b)2=a−b, 所以构造“对偶式”相乘可以有效地将 (a+ b) 和 (a−b) 中的“ ”去掉

例如: 已知 25−x−15−x=2, 求 25−x+15−x 的值.
解: (25−x−15−x)×(25−x+15−x)=(25−x)−(15−x)=10
∵25−x−15−x=2,∴25−x+15−x=5

材料二: 如图, 点 A(x1,y1), 点 B(x2,y2), 以 AB 为斜边作Rt △ABC,
则 C(x2,y1), 于是 AC=|x1−x2|,BC=|y1−y2|, 所以
AB=(x1−x2)2+(y1−y2)2. 

反之, 可将代数式 (x1−x2)2+(y1−y2)2 的值看作点 (x1,y1) 到点 (x2,y2) 的距离. 例如
x2−2x+y2+2y+2=(x2−2x+1)+(y2+2y+1)=(x−1)2+(y+1)2=(x−1)2+[y−(−1)]2.

所以可将代数式 x2−2x+y2+2y+2 的值看作点 (x,y) 到点 (1,−1) 的距离.
(1) 利用材料一, 解关于 x 的方程: 20−x−4−x=2, 其中 x≤4 ；
(2)①利用材料二, 求代数式 x2−2x+y2−16y+65+x2+4x+y2−4y+8 的最小值, 并求出此时 y 与 x 的函数关系式, 写出 x 的取值范围;
② 将①所得的 y 与 x 的函数关系式和 x 的取值范围代入 y=2x2+5x+12+2x2+3x+6 中解出 x, 直接写出 x 的值.

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5. 如图, 抛物线 y=12(x−3)2−1 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧), 与 y 轴交于点 C, 顶点为 D.
(1)试求点 A,B,D 的坐标；
(2)连接 CD, 过原点 O 作 OE⊥CD 与抛物线的对称轴交于点 E,求 OE 的长;
(3)以(2)中的点 E 为圆心, 1 为半径画圆, 在对称轴右侧的抛物线上有一动点 P, 过点 P 作 ⊙O 的切线, 切点为 Q, 当 PQ的长最小时, 求点 P 的坐标.

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6. 如图, 抛物线 y=ax2−2ax+c(a≠0) 与 y 轴交于点 C(0,4),与 x 轴交于点 A、B, 点 A 坐标为 (4,0)
(1)求抛物线的解析式
(2)抛物线的顶点为 N, 在 x 轴上找一点 K, 使 CK+KN 最小,并求出点 K 的坐标;
(3)已知 D 是 OA 的中点, 点 P 在第一象限的抛物线上, 过点 P 作 x 轴的平行线, 交直线 AC 于点 F, 连接 OF,DF. 当 OF =DF 时，求点 P 的坐标.

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