一、单选题 （共 5 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
p(x)=\left\{\begin{array}{cc}
A \cos x & 0 < x < \frac{\pi}{2} \\
0 & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
则 $ A=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\pi$
$\text{D.}$ 0
设随机变量 $X$ 的摡率密度为 $p(x), Y=-X$, 则 $Y$ 的概率密度为
$\text{A.}$ $-p(y)$
$\text{B.}$ $1-p(-y)$
$\text{C.}$ $p(-y)$
$\text{D.}$ $p(y)$
甲袋中有 4 只红球, 有 6 只白球, 乙袋中有 6 只红球, 10 只白球, 现从两袋中各任取 1 球, 则 2 个球颜色相同的概率是
$\text{A.}$ $\frac{6}{40}$
$\text{B.}$ $\frac{15}{40}$
$\text{C.}$ $\frac{21}{40}$
$\text{D.}$ $\frac{19}{40}$
设 $f_1(x)$ 为标准正态分布的概率密度, $f_2(x)$ 为 $[-1,3]$ 上的均匀分布的概率密度, 若 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}a f_1(x), x \leq 0 \\ b f_2(x), x>0\end{array}(a>0, b>0)\right.$ 为随机变量的概率密度, 则 $a, b$ 应满足
$\text{A.}$ $2 a+3 b=4$
$\text{B.}$ $3 a+2 b=4$
$\text{C.}$ $a+b=1$
$\text{D.}$ $a+b=2$
设 $A, B, C$ 是三个随机事件, $0 < P(A) < 1, P(A C)>0$, 则下列说法错误的是
$\text{A.}$ $\mathrm{P}(A B)+\mathrm{P}(A C)+\mathrm{P}(B C) \geqslant \mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)+\mathrm{P}(C)-1$
$\text{B.}$ $\mathrm{P}(A B)+\mathrm{P}(A C) \geqslant \mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B C)-1$
$\text{C.}$ $\mathrm{P}(B \mid A)>\mathrm{P}(B \mid A C)$
$\text{D.}$ $\mathrm{P}(B \mid A)+\mathrm{P}(B \mid \bar{A}) \geqslant \mathrm{P}(B)$
二、填空题 （共 3 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(2,5)$, 随机变量 $Y$ 服从正态分布 $N(1,4)$, 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 则概率 $P(X \leqslant Y+4)=$
在数字通讯中, 信号由 0 和 1 组成, 因为有随机干扰, 收到信号时, 0 被误收作 1 的概率为 0.2 , 而 1 被误收作 0 的概率为 0.1 , 假定发送信号 0 与 1 的几率均等.
1. 求发送的是信号 0 且收到的也是信号 0 的概率;
2. 求收到的是信号 0 的概率;
3. 已知收到的是信号 0 , 求发出的是信号 0 的概率.
设 $X \sim N(1,1)$, 且 $\Phi(1)=0.8413$, 则 $P\{0 < X < 2\}=$ 。
三、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设一批电子产品由甲和乙两工厂共同生产, 其中甲, 乙两工厂生产的份额分别为 $60 \%$ 和 $40 \%$ 。根据经验可知甲, 乙两工厂生产该产品的次品率分别为 $1 \%$ 和 $2 \%$, 现从这批产品中随机抽取一件, 发现是次品, 则该次品是甲厂生产的概率是多少?
设某保险公司每个月受理的索赔事件个数服从参数为 $\lambda$ 的Poisson分布, 而每个索赔成功的概率为 $p$, 且各个索赔彼此之间没有关系。二月份该公司有 $k$ 个索赔成功的概率是多少? 若该月份有 $k$ 个索赔成功, 则它受理了 $m(m \geq k)$ 个索赔事件的概率是多少?
某工厂为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费, 配备少了又要影响生产), 现有同类型设备 300 台, 各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是 0.01 . 在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况), 问至少需配备多少工人, 才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01 ?
设随机向量 $(\xi, \eta)$ 服从区域 $D$ 上的均匀分布, 其中 $D$ 是由直线 $y=x, x=0, y=$ 1所围成的区域. 试求:
(1) $(\xi, \eta)$ 的联合密度 $p(x, y)$;
(2) $(\xi, \eta)$ 的边缘密度 $p_1(x)$ 和 $p_2(y)$;
(3) 条件密度 $p(x \mid \eta=y)$;
(4) $E(\xi \mid \eta=y)$.
设 $\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(B)=0.4$, 且 $\mathrm{P}(B \mid A)+\mathrm{P}(\bar{B} \mid \bar{A})=1$, 则 $\mathrm{P}(A B)=$
甲乙二人抛郑一枚均匀的硬币, 甲抛了 101 次, 乙抛了 100 次, 则甲抛出的正面次数比乙多的概率是
设随机变量 $X$ 服从 $B(2, p)$, 且 $P\{X \geq 1\}=\frac{5}{9}$, 则 $p=$
设随机变量 $X$ 服从 $N(-1,4)$, 则 $P\{X+1 < 0\}=$
设随机变量 $X \sim U\left[\begin{array}{ll}1, & 2\end{array}\right]$ 。
求 $Y=e^{2 X}$ 概率密度 $p_Y(y)$ 。
设随机变量 $X$ 服从参数为 2 的指数分布。
证明: $\bar{Y}=1-e^{-2 X}$ 在区间 $(0,1)$ 上, 服从均匀分布。