一、单选题 （共 10 题，每小题 4 分，共 40 分，每题只有一个选项正确）
当 $x \rightarrow 0$ 时， 若 $x-tan x$ 与 $x^k$是同阶无穷小， 则 $k=$ （ ）
$\text{A.}$ $1$
$\text{B.}$ $2$
$\text{C.}$ $3$
$\text{D.}$ $4$
设函数
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
x|x|, x \leq 0, \\
x \ln x, x>0
\end{array}\right.$$则 x=0是$f(x)$ 的
$\text{A.}$ 可导点，极值点
$\text{B.}$ 不可导点，极值点
$\text{C.}$ 可导点，非极值点
$\text{D.}$ 不可导点，非极值点
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 其 2 阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的图形 如右图所示, 则曲线 $y=f(x)$ 的拐点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x \leqslant 0, \\ \frac{1}{n}, & \frac{1}{n+1} < x \leqslant \frac{1}{n}, n=1,2, \cdots,\end{array}\right.$ 则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点.
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点.
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导.
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导.
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x>0 \\ b, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则
$\text{A.}$ $a b=\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $a b=-\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $a b=0$.
$\text{D.}$ $a b=2$.
设函数 $f(x)$ 可导, 且 $f(x) f^{\prime}(x)>0$, 则
$\text{A.}$ $f(1)>f(-1)$.
$\text{B.}$ $f(1) < f(-1)$.
$\text{C.}$ $|f(1)|>|f(-1)|$.
$\text{D.}$ $|f(1)| < |f(-1)|$.
下列函数中, 在 $x=0$ 处不可导的是 ( )
$\text{A.}$ $f(x)=|x| \sin |x|$.
$\text{B.}$ $f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$.
$\text{C.}$ $f(x)=\cos |x|$.
$\text{D.}$ $f(x)=\cos \sqrt{|x|}$.
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^2}{1+x^2} \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$, 则
$\text{A.}$ $M>N>K$.
$\text{B.}$ $M>K>N$.
$\text{C.}$ $K>M>N$.
$\text{D.}$ $K>N>M$.
$x \rightarrow 0^{+}$时, 下列无穷小阶数最高的是
$\text{A.}$ $\int_0^x\left(\mathrm{e}^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t$
$\text{B.}$ $\int_0^x \ln \left(1+\sqrt{t^3}\right) \mathrm{d} t$
$\text{C.}$ $\int_0^{\sin x} \sin t^2 \mathrm{~d} t$
$\text{D.}$ $\int_0^{1-\cos x} \sqrt{\sin ^3 t} \mathrm{~d} t$
设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$, 则 ( )
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0, f(x)$ 在 $x=0$ 处可导.
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{x^2}}=0, f(x)$ 在 $x=0$ 处可导.
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$.
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{x^2}}=0$.
二、填空题 （共 8 题, 每小题 4分，共 32 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (\cos x)}{x^2}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x t \ln (1+t \sin t) \mathrm{d} t}{1-\cos x^2}=$
设函数 $f(x)=\arctan x-\frac{x}{1+a x^2}$, 且 $f^{\prime \prime \prime}(0)=1$, 则 $a=$
已知函数 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$, 则 $f^{(3)}(0)=$
若 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right)^{\frac{1}{\sin k x}}=\mathrm{e}$, 则 $k=$
设函数 $f(x)$ 具有 2 阶连续导数. 若曲线 $y=f(x)$ 过点 $(0,0)$ 且与曲线 $y=2^x$ 在点 $(1,2)$ 处相 切, 则 $\int_0^1 x f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{\ln (1+x)}\right]=$
设 $\left\{\begin{array}{c}x=\sqrt{t^2+1} \\ y=\ln \left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\end{array}\right.$, 则 $\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{t=1}=$
三、解答题 （ 共 11 题，满分 128 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2} \ln \left(1+\frac{k}{n}\right) \text {. }
$$
设函数 $f(x)=x+a \ln (1+x)+b x \sin x, g(x)=k x^3$. 若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x \rightarrow 0$ 时是等价无穷小, 求 $a, b, k$ 值.
设函数 $f(u, v)$ 具有 2 阶连续偏导数,$y=f\left(\mathrm{e}^x, \cos x\right)$, 求 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0},\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}$.
将长为 $2 \mathrm{~m}$ 的铁丝分成三段, 依次围成圆、正方形与正三角形. 三个图形的面积之和是否存在 最小值?若存在,求出最小值.
设函数 $f(x)$ 在定义域 $I$ 上的导数大于零. 若对任意的 $x_0 \in I$, 曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 处 的切线与直线 $x=x_0$ 及 $x$ 轴所围成区域的面积恒为 4 , 且 $f(0)=2$, 求 $f(x)$ 的表达式.
设函数$y(x)$是微分方程$y'+xy=e^{-\dfrac{x^2}{2}}$ 满足条件 y(0)=0的解
(1)求$y(x)$
(2)求曲线$y=y(x)$的凹凸区间及拐点
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足: $x_1>0, x_n \mathrm{e}^{x_{n+1}}=\mathrm{e}^{x_n}-1(n=1,2, \cdots)$. 证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1,(n+1) a_n+1=\left(n+\frac{1}{2}\right) a_n$, 证明: 当 $|x| < 1$ 时幂级数 $\sum_{n=1} a_n x^n$ 收敛, 并求其和函数.
已知函数 $f(x)$ 可导, 且 $f(0)=1,0 < f^{\prime}(x) < \frac{1}{2}$. 设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_{n+1}=f\left(x_n\right)(n=1,2, \cdots)$. 证 明:
(I) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_n\right)$ 绝对收敛;
(II) $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 且 $0 < \lim _{n \rightarrow \infty} x_n < 2$.
设$a_n=\int _{0}^{1}x^{n}\sqrt{1-x^{2}}dx (n=0,1,2,3...)$
(1)证明：数列$\{a_n\}$单调递减，且 $a_n=\dfrac{n-1}{n+2} a_{n-2}(n=2,3...)$
（2）求 $
\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{a_{n-1}}
$
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上具有 2 阶导数, 且 $f(1)>0, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x} < 0$. 证明:
( I ) 方程 $f(x)=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在一个实根;
(II) 方程 $f(x) f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在两个不同实根.
f【0】=0