单选题 （共 11 题 ），每题只有一个选项正确
设随机变量 $X$ 的摡率密度为 $p(x), Y=-X$, 则 $Y$ 的概率密度为
$\text{A.}$ $-p(y)$
$\text{B.}$ $1-p(-y)$
$\text{C.}$ $p(-y)$
$\text{D.}$ $p(y)$
设 $X$ 服从二项分布 $B(n, p)$, 则
$\text{A.}$ $E(2 X-1)=2 n p$
$\text{B.}$ $D(2 X-1)=4 n p(1-p)+1$
$\text{C.}$ $E(2 X+1)=4 n p+1$
$\text{D.}$ $D(2 X-1)=4 n p(1-p)$
设 $X$ 服从 $N(0,4)$, 则 $E[X(X-2)]=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ 1
对随机变量 $X$ 来说, 如果 $E X \neq D X$, 则可断定 $X$ 不服从
$\text{A.}$ 二项分布
$\text{B.}$ 指数分布
$\text{C.}$ 正态分布
$\text{D.}$ 泊松分布
设 $X$ 为服从正态分布 $N(-1,2)$ 的随机变量, 则 $E(2 X-1)=$
$\text{A.}$ 9
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 3
设 $A, B$ 为两个随机事件, $0 < P(A)=p < 1,0 < P(B)=q < 1$, 则下列结论中, 错误的是
$\text{A.}$ $P(A \mid B) \leqslant \frac{p}{q}$.
$\text{B.}$ $P(\bar{A} \mid B) \leqslant \frac{P}{q}$.
$\text{C.}$ $P(A \mid B) \geqslant 1+\frac{p-1}{q}$.
$\text{D.}$ $P(\bar{A} \mid B) \geqslant 1-\frac{P}{q}$.
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,1), Y$ 服从正态分布 $N(1,4)$, 对给定的 $\alpha(0 < \alpha < 1)$, 数 $u_\alpha$满足 $P\left\{Y>u_a\right\}=\alpha$. 若 $P\{|X| < x\}=\alpha$, 则 $x$ 等于
$\text{A.}$ $u_{\frac{a}{2}}$.
$\text{B.}$ $u_{\frac{1-\alpha}{2}}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}\left(u_{\frac{\alpha}{2}}-1\right)$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}\left(u_{\frac{1-\alpha}{2}}-1\right)$.
当 ( )成立时, 随机事件 $A, B, C$ 相互独立.
$\text{A.}$ $\mathrm{P}(A-B)=1$
$\text{B.}$ $\mathrm{P}(C-A)=0$
$\text{C.}$ $\mathrm{P}(A \cup B)=1$
$\text{D.}$ $\mathrm{P}(A B C)=\mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B) \mathrm{P}(C)$
设 $A, B$ 为随机事件, 则 $(A-B) \cup B$ 等于
$\text{A.}$ $A$
$\text{B.}$ $A B$
$\text{C.}$ $A \bar{B}$
$\text{D.}$ $A \cup B$
设 $A, B$ 为随机事件, $B \subset A$, 则
$\text{A.}$ $P(B-A)=P(B)-P(A)$
$\text{B.}$ $P(B \mid A)=P(B)$
$\text{C.}$ $P(A B)=P(A)$
$\text{D.}$ $P(A \cup B)=P(A)$
已知一射手在唡次独立射击中至少命中目标一次的概率为 0.96 , 则该射手每次射击的命中率为
$\text{A.}$ 0.04
$\text{B.}$ 0.2
$\text{C.}$ 0.8
$\text{D.}$ 0.96
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
袋中有 4 个球,其中有 2 个白球和 2 个黑球, 从中任意取出 2 个球,如果取出的 2 个球中恰好是 1 个白球和 1 个黑球就停止试验,否则将这 2 个球放回袋中重新抽取 2 个球, 直到取到 1 个白球和 1 个照球为止. 用 $X$ 表示抽取次数, 则数学期望 $E X=$
记半圆盘 $x^2+y^2 \leqslant 4(y \geqslant 0)$ 中到 $x$ 轴的距离不超过 $\sqrt{2}$ 的点所构成的区域为 $D$. 向区域 $D$ 中随机投郑一点, 以该点为圆心, 该点到 $x$ 轴的距离为半径作圆 $C$. 记圆 $C$ 的面积为 $S$,则 $E(S)=$
从数字 $1,2, \cdots, 10$ 中有放回地任取 4 个数字, 则数字 10 恰好出现两次的概率为
设随机变最 $X$ 服从参数为 2 的泊松分布, 则 $E(2 X)=$
设随机变量 $X \sim N(1,4)$, 则 $D(X)=$
设 $x_1, x_2, \cdots, x_{10}$ 为来自总体 $X$ 的样本, 且 $X \sim N\left(1,2^2\right), \bar{x}$ 为样本均值,则 $D(\bar{x})=$
设一元线性回归模型为 $y_i=\beta_0+\beta_1 x_i+\varepsilon_i, i=1,2, \cdots, n$, 则 $E\left(\varepsilon_i\right)=$.
设 $A, B$ 为随机事汼, $P(A)=0.2, P(B \mid A)=0.4, P(A \mid B)=0.5$.
求: (1) $P(A B)$;
(2) $P(A \cup B)$.
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
盒内有 12 个乒乓球, 其中 9 个是新球, 3 个是旧球。采取不放回抽取, 每次取一个, 直到取到新球为止。求抽取次数 $X$ 的概率分布。
车间中有 6 名工人在各自独立的工作, 已知每个人在 1 小时内有 12 分钟需用小吊车。
求 (1) 在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少?
（2）若车间中仅有 2 台小吊车, 则因小吊车不够而聶误工作的概率是多少?
某种电池的寿命（单位: 小时）是一个随机变量 $X$, 且 $X \sim N\left(300,35^2\right)$ 。
求（1）这样的电池寿命在 250 小时以上的概率;
（2） 求$a$ 使电池寿命在 $(300-a, 300+a)$ 内的概率不小于 0.9 。
一汽车沿一街道行使, 需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立, 求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以 $X$ 表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。
求 (1) $X$ 的概率分布;
(2)
$$
E\left(\frac{1}{1+X}\right)
$$