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123试卷具体名称

数学

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

1. 若

\frac{a^{2}}{a^{2} - 2} = \frac{1}{1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}}

, 则

(\frac{1}{1 - a} - \frac{1}{1 + a}) \div (\frac{a}{a^{2} - 1} + a)

的值是

A.

\sqrt{2} - \sqrt{3}

B.

\sqrt{3} - \sqrt{2}

C.

- \sqrt{2} - \sqrt{3}

D.

\sqrt{2} + \sqrt{3}

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2. 如图, 平行四边形

A B C D

中,

P

是四边形内任意一点,

△ A B P, △ B C P, △ C D P, △ A D P

的面积分别为

S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}

, 则一定成立的是

A.

S_{1} + S_{2} = S_{3} + S_{4}

B.

S_{1} + S_{2} > S_{3} + S_{4}

C.

S_{1} + S_{3} = S_{2} + S_{4}

D.

S_{1} + S_{2} < S_{3} + S_{4}

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3. 如图,

△ A B P

为圆锥经过底面直径

A B

的最大截面,

A B = 6, P B = 9

, 点

C

为母线

P B

的中点. 一只蜘蛛要从点

A

沿圆雉侧面爬到点

C

, 则该蜘蛛要爬的最短路径长为

A.

9

B.

\frac{9}{2} \sqrt{3}

C.

3 \sqrt{3}

D.

63 \sqrt{3}

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二、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

4. 若

a b c = 1

, 解方程

\frac{2 a x}{a b + a + 1} + \frac{2 b x}{b c + b + 1} + \frac{2 c x}{c a + c + 1} = 1

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5. 在Rt

△ A B C

中,

∠ A C B = 90^{\circ}, ∠ A = 30^{\circ}, B D

是

△ A B C

的角平分线,

D E ⊥ A B

于点

E

.在线段

A D

上任取一点

P

, 以

P B

为一边, 在

P B

的下方作

∠ B P Q = 60^{\circ}, P Q

交

D E

延长线于点

Q

. 请判断线段

D A, D P, D Q

之间的数量关系, 并证明你的结论.

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6. 在曲线

y = x^{2} (x \geq 0)

上点

A

处作切线, 该切线与曲线以及

x

轴所围图形的面积为

\frac{1}{12}

.
(1) 求点

A

的坐标和切线方程;
(2) 求由上述平面图形绕

x

轴旋转一周所成旋转体的体积.

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7. 设

a_{1} > 0, a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}}, n = 1, 2, \dots

, 证明

lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_{n}} = 0

.

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8. 对函数

y = \frac{x + 1}{x^{2}}

填写下表:

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9. 证明当

x > 0

时,

\ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) < \sqrt{1 + x^{2}} \arctan x

.

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他的试卷

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