2015年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数三)



一、单选题 (共 8 题 ),每题只有一个选项正确
1.{xn} 是数列,下列命题中不正确的是
A.limnxn=a ,则 limnx2n=limnx2n+1=a B.limnx2n=limnx2n+1=a ,则 limnxn=a C.limnxn=a ,则 limnx3n=limnx3n+1=a D.limnx3n=limnx3n+1=a ,则 limnxn=a

2. 设函数 f(x)(,+) 连续,其二阶导函数 f(x) 的图形如下图所示,则曲线 y=f(x) 的拐点个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

3.D={(x,y)x2+y22x,x2+y22y} ,函数 f(x,y)D 上连续,则 Df(x,y)dx dy=()
A. 0π4 dθ02cosθf(rcosθ,rsinθ)r dr+π4π2 dθ02sinθf(rcosθ,rsinθ)r dr B. 0π4 dθ02sinθf(rcosθ,rsinθ)r drπ4π2 dθ02cosθf(rcosθ,rsinθ)r dr C. π4π2 dθ02cosθf(rcosθ,rsinθ)r dr D. 201 dx11x2xf(x,y)dy

4. 下列级数中发散的是
A. n=1n3n B. n=11nln(1+1n) C. n=2(1)n+1lnn D. n=1n!nn

5. 设矩阵 A=(11112a14a2)b=(1dd2) ,若集合 Ω={1,2} ,则线性方程组 Ax=b 有无穷多个解的充分必要条件为
A. aΩ,dΩ B. aΩ,dΩ C. aΩ,dΩ D. aΩ,dΩ

6. 设二次型 f(x1,x2,x3) 在正交变换 x=Py 下的标准形为 2y12+y22y32 ,其中 P=(e1,e2,e3) ,若 Q=(e1,e3,e2) ,则 f(x1,x2,x3) 在正交变换 x=Qy 下的标准形为
A. 2y12y22+y32 B. 2y12+y22y32 C. 2y12y22y32 D. 2y12+y22+y32

7.A,B 为任意两个随机事件,则
A. P(AB)P(A)P(B) B. P(AB)P(A)P(B) C. P(AB)P(A)+P(B)2 D. P(AB)P(A)+P(B)2

8. 设总体 XB(m,θ)X1,X2,,Xn 为来自该总体的简单随机样本, X¯ 为样本均值,则 E[i=1n(XiX)2]=()
A. (m1)nθ(1θ) B. m(n1)θ(1θ) C. (m1)(n1)θ(1θ) D. mnθ(1θ)

二、填空题 (共 15 题 ),请把答案直接填写在答题纸上
9. limx0lncosxx2=

10. 设函数 f(x) 连续, φ(x)=0x2xf(t)dt. 若 φ(1)=1φ(1)=5 ,则 f(1)=

11. 若函数 z=x(x,y) 由方程 ex+2y+3z+xyz=1 确定, 则 dz|(0,0)=

12. 设函数 y=y(x) 是微分方程 y+y2y=0 的解,且在 x=0 处取得极值 3 ,则 y(x)=

13. 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2,2,1B=A2A+E ,其中 E 为 3 阶单位矩阵,则行列式 |B|=

14. 设二维随机变量 (X,Y) 服从正态分布 N(1,0;1,1;0) ,则 P{XYY<0}=

15. 设函数 f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx,g(x)=kx3 ,若 f(x)g(x)x0 时是等价无穷小,求 a,b,k 值.

16. 计算二重积分 Dx(x+y)dx dy ,其中
D={(x,y)x2+y22,yx2}.

17. 为了实现利润的最大化,厂商需要对某商品确定其定价模 η 为需求弹性 (η>0).
(1) 证明定价模型为 P=MC11η
(2) 若该商品的成本函数为 C(Q)=1600+Q2 ,需求函数为 Q=40P ,试由(I)中的定价模型确定此商品的价格。

18. 设函数 f(x) 在定义域 I 上的导数大于零,若对任意的 x0I ,曲线 y=f(x) 在点 (x0,f(x0)) 处切线与直线 x=x0x 轴所围成的区域的面积恒为 4 ,且 f(0)=2 ,求 f(x) 的表达式。

19. (1) 设函数 u(x),v(x) 可导,利用导数定义证明
[u(x)v(x)]=u(x)v(x)+u(x)v(x).
(2) 设函数 u1(x),u2(x),,un(x) 可导,
f(x)=u1(x)u2(x)un(x)

20. 设矩阵 A=(a101a101a)A3=0
(1) 求 a 的值;
(2) 若矩阵 X 满足 XXA2AX+AXA2=E ,其中 E 为 3 阶单位矩阵,求 X

21.A=(02313312a) 相似于矩阵 B=(1200b0031).
(1) 求 a,b 的值;
(2) 求可逆矩阵 P ,使得 P1AP 为对角矩阵.

22. 设随机变量 X 的概率密度为
f(x)={2xln2,x>00,x0

X 进行独立重复的观测,直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止,记 Y 为观测次数。
(1) 求 Y 的概率分布;
(2) 求 E(Y).

23. 设总体 X 的概率密度为
f(x;θ)={11θ,θx10, 其他 

其中 θ 为未知参数, X1,X2,,Xn 为来自该总体的简单随机样本。
(1) 求 θ 的矩估计量;
(2) 求 θ 的最大似然估计量.

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