一、单选题 (共 8 题 ),每题只有一个选项正确
1. 设 是数列,下列命题中不正确的是
若 ,则
若 ,则
若 ,则
若 ,则
2. 设函数
在
连续,其二阶导函数
的图形如下图所示,则曲线
的拐点个数为
0
1
2
3
3. 设 ,函数 在 上连续,则
4. 下列级数中发散的是
5. 设矩阵 , ,若集合 ,则线性方程组 有无穷多个解的充分必要条件为
6. 设二次型 在正交变换 下的标准形为 ,其中 ,若 ,则 在正交变换 下的标准形为
7. 若 为任意两个随机事件,则
8. 设总体 , 为来自该总体的简单随机样本, 为样本均值,则
二、填空题 (共 15 题 ),请把答案直接填写在答题纸上
10. 设函数 连续, . 若 , ,则
11. 若函数 由方程 确定, 则
12. 设函数 是微分方程 的解,且在 处取得极值 3 ,则
13. 设 3 阶矩阵 的特征值为 , ,其中 为 3 阶单位矩阵,则行列式
14. 设二维随机变量 服从正态分布 ,则
15. 设函数 ,若 与 在 时是等价无穷小,求 值.
16. 计算二重积分 ,其中
17. 为了实现利润的最大化,厂商需要对某商品确定其定价模 为需求弹性 .
(1) 证明定价模型为 ;
(2) 若该商品的成本函数为 ,需求函数为 ,试由(I)中的定价模型确定此商品的价格。
18. 设函数 在定义域 上的导数大于零,若对任意的 ,曲线 在点 处切线与直线 及 轴所围成的区域的面积恒为 4 ,且 ,求 的表达式。
19. (1) 设函数 可导,利用导数定义证明
(2) 设函数 可导,
,
20. 设矩阵 且 。
(1) 求 的值;
(2) 若矩阵 满足 ,其中 为 3 阶单位矩阵,求 。
21. 设 相似于矩阵 .
(1) 求 的值;
(2) 求可逆矩阵 ,使得 为对角矩阵.
22. 设随机变量 的概率密度为
对 进行独立重复的观测,直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止,记 为观测次数。
(1) 求 的概率分布;
(2) 求 .
23. 设总体 的概率密度为
其他
其中 为未知参数, 为来自该总体的简单随机样本。
(1) 求 的矩估计量;
(2) 求 的最大似然估计量.