一、单选题 (共 10 题 ),每题只有一个选项正确
1. 当 时,与 等价的无穷小量是
2. 函数 在 上的第一类间断点是
0
1
3. 连续函数
在区间
, 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周,在区间
, 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周,设
,则下列结论正确的是
4. 设函数 在 处连续,下列命题错误的是
若 存在,则
若 存在,则
若 存在,则 存在
若 存在,则 存在
5. 曲线 渐近线的条数为
0
1
2
3
6. 设函数 在 上具有二阶导数,且 ,令 , 则下列结论正确的是
若 ,则 必收敛
若 ,则 必发散
若 ,则 必收敛
若 ,则 必发散
7. 二元函数 在点 处可微的一个充分条件是
,且
,且
8. 设函数 连续,则二次积分 等于
9. 设向量组 线性无关,则下列向量组线性相关的是
10. 设矩阵 ,, 则 与
合同且相似
合同但不相似
不合同但相似.
既不合同,又不相似
二、填空题 (共 6 题 ),请把答案直接填写在答题纸上
11.
12. 曲线 上对应于 的点处的法线斜率为
13. 设函数 ,则
14. 二阶常系数非齐次线性微分方程 的通解为
15. 设 是二元可微函数, ,则
16. 设矩阵 ,则 的秩为
三、解答题 (共 8 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17. 设 是区间 上的单调、可导函数,且满足
其中 是 的反函数,求 .
18. 设 是位于曲线
下方、 轴上方的无界区域.
(1) 求区域 绕 轴旋转一周所成旋转体的体积 ;
(2) 当 为何值时, 最小?并求此最小值.
19. 求 满足初始条件 的特解。
20. 已知函数 具有二阶导数,且 ,函数 由方程 所确定,设
求 .
21. 设函数 在 上连续,在 具有二阶导数且存在相等的最大值, . 证明:存在 ,使得 .
22. 设二元函数
计算二重积分 ,其中
23. 设线性方程组
与方程组
有公共解,求 的值及所有公共解.
24. 设 3 阶对称矩阵 的特征值 ,且 是 的属于 的一个特征向量,记
其中 为 3 阶单位矩阵.
(1) 验证 是矩阵 的特征向量,并求 的全部特征值与特征向量;
(2) 求矩阵 .