单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1-e^{\sqrt{x}}$
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
函数 $f(x)=\frac{\left(e^{\frac{1}{x}}+e\right) \tan x}{x\left(e^{\frac{1}{x}}-e\right)}$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的第一类间断点是 $x=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $-\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}$
连续函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-3,-2] ，[2,3]$ 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 $[-2,0] ，[0,2]$ 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 $F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ ，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $F(3)=-\frac{3}{4} F(-2)$
$\text{B.}$ $F(3)=-\frac{3}{4} F(-2)$
$\text{C.}$ $F(-3)=\frac{3}{4} F(2)$
$\text{D.}$ $F(-3)=-\frac{5}{4} F(-2)$
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，下列命题错误的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$
$\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，则 $f(0)=0$
$\text{C.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在
$\text{D.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在
曲线 $y=\frac{1}{x}+\ln \left(1+e^x\right)$ 渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上具有二阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，令 $u_n=f(n)(n=1,2, \cdots)$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $u_1>u_2$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 必收敛
$\text{B.}$ 若 $u_1>u_2$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 必发散
$\text{C.}$ 若 $u_1 < u_2$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 必收敛
$\text{D.}$ 若 $u_1 < u_2$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 必发散
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微的一个充分条件是
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}=0$ ，且 $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}=0$
$\text{C.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left[f_x^{\prime}(x, 0)-f_x^{\prime}(0,0)\right]=0$ ，且 $\lim _{y \rightarrow 0}\left[f_y^{\prime}(0, y)-f_y^{\prime}(0,0)\right]=0$
设函数 $f(x, y)$ 连续，则二次积分 $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \mathrm{d} x \int_{\sin x}^1 f(x, y) \mathrm{d} y$等于
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\pi+\arcsin y}^\pi f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\pi-\arcsin y}^\pi f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi+\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi-\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，则下列向量组线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1-\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3, \alpha_3-\alpha_1$
$\text{B.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$
$\text{C.}$ $\alpha_1-2 \alpha_2, \alpha_2-2 \alpha_3, \alpha_3-2 \alpha_1$
$\text{D.}$ $\alpha_1+2 \alpha_2, \alpha_2+2 \alpha_3, \alpha_3+2 \alpha_1$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 则 $A$ 与 $B$
$\text{A.}$ 合同且相似
$\text{B.}$ 合同但不相似
$\text{C.}$ 不合同但相似.
$\text{D.}$ 既不合同，又不相似
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-\sin x}{x^3}=$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos t+\cos ^2 t \\ y=1+\sin t\end{array}\right.$ 上对应于 $t=\frac{\pi}{4}$ 的点处的法线斜率为
设函数 $y=\frac{1}{2 x+3}$ ，则 $y^{(n)}(0)=$
二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=2 e^{2 x}$的通解为 $y=$
设 $f(u, v)$ 是二元可微函数， $z=f\left(\frac{y}{x}, \frac{x}{y}\right)$ ，则
$$
x \frac{\partial z}{\partial x}-y \frac{\partial z}{\partial y}=
$$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A^3$ 的秩为
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 是区间 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的单调、可导函数，且满足
$$
\int_0^{f(x)} f^{-1}(t) \mathrm{d} t=\int_0^x t \frac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t} \mathrm{~d} t
$$
其中 $f^{-1}$ 是 $f$ 的反函数，求 $f(x)$.
设 $D$ 是位于曲线
$$
y=\sqrt{x} a^{-\frac{x}{2 a}}(a>1,0 \leq x < +\infty)
$$
下方、 $x$ 轴上方的无界区域.
(1) 求区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积 $V(a)$ ；
(2) 当 $a$ 为何值时， $V(a)$ 最小?并求此最小值.
求 $y^{\prime \prime}\left(x+y^{\prime 2}\right)=y^{\prime}$ 满足初始条件 $y(1)=y^{\prime}(1)=1$ 的特解。
已知函数 $f(u)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(0)=1$ ，函数 $y=y(x)$ 由方程 $y-x e^{y-1}=1$ 所确定，设
$$
z=f(\ln y-\sin x)
$$
求 $\left.\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0},\left.\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}$.
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$具有二阶导数且存在相等的最大值, $f(a)=g(a), f(b)=g(b)$. 证明:存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=g^{\prime \prime}(\xi)$.
设二元函数
$$
f(x, y)= \begin{cases}x^2, & |x|+|y| \leq 1 \\ \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & 1 < |x|+|y| \leq 2\end{cases}
$$
计算二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \| x|+| y \mid \leq 2\}
$$
设线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3=0 \\
x_1+2 x_2+a x_3=0 \\
x_1+4 x_2+a^2 x_3=0
\end{array}\right.
$$
与方程组
$$
x_1+2 x_2+x_3=a-1
$$
有公共解，求 $a$ 的值及所有公共解.
设 3 阶对称矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_1=1, \lambda_2=-2, \lambda_3=-2$ ，且 $\alpha_1=(1,-1,1)^T$ 是 $A$ 的属于 $\lambda_1$ 的一个特征向量，记
$$
B=A^5-4 A^3+E,
$$
其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵.
(1) 验证 $\alpha_1$ 是矩阵 $B$ 的特征向量，并求 $B$ 的全部特征值与特征向量;
(2) 求矩阵 $\boldsymbol{B}$.