2007年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数二)

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2007年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数二)

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 当

x \to 0^{+}

时，与

\sqrt{x}

等价的无穷小量是

A.

1 - e^{\sqrt{x}}

B.

\ln \frac{1 + x}{1 - \sqrt{x}}

C.

\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1

D.

1 - \cos \sqrt{x}

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2. 函数

f (x) = \frac{(e^{\frac{1}{x}} + e) \tan x}{x (e^{\frac{1}{x}} - e)}

在

[- π, π]

上的第一类间断点是

x =

A.

B.

C.

- \frac{π}{2}

D.

\frac{π}{2}

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3. 连续函数

y = f (x)

在区间

[- 3, - 2] ， [2, 3]

上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间

[- 2, 0] ， [0, 2]

的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

，则下列结论正确的是

A.

F (3) = - \frac{3}{4} F (- 2)

B.

F (3) = - \frac{3}{4} F (- 2)

C.

F (- 3) = \frac{3}{4} F (2)

D.

F (- 3) = - \frac{5}{4} F (- 2)

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4. 设函数

f (x)

在

x = 0

处连续，下列命题错误的是

A.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x}

存在，则

f (0) = 0

B.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x) + f (- x)}{x}

存在，则

f (0) = 0

C.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x}

存在，则

f^{'} (0)

存在

D.

若

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (- x)}{x}

存在，则

f^{'} (0)

存在

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5. 曲线

y = \frac{1}{x} + \ln (1 + e^{x})

渐近线的条数为

A.

B.

C.

D.

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6. 设函数

f (x)

在

(0, + \infty)

上具有二阶导数，且

f^{''} (x) > 0

，令

u_{n} = f (n) (n = 1, 2, \dots)

, 则下列结论正确的是

A.

若

u_{1} > u_{2}

，则

{u_{n}}

必收敛

B.

若

u_{1} > u_{2}

，则

{u_{n}}

必发散

C.

若

u_{1} < u_{2}

，则

{u_{n}}

必收敛

D.

若

u_{1} < u_{2}

，则

{u_{n}}

必发散

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7. 二元函数

f (x, y)

在点

(0, 0)

处可微的一个充分条件是

A.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} [f (x, y) - f (0, 0)] = 0

B.

lim_{x \to 0} \frac{f (x, 0) - f (0, 0)}{x} = 0

，且

lim_{y \to 0} \frac{f (0, y) - f (0, 0)}{y} = 0

C.

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{f (x, y) - f (0, 0)}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0

D.

lim_{x \to 0} [f_{x}^{'} (x, 0) - f_{x}^{'} (0, 0)] = 0

，且

lim_{y \to 0} [f_{y}^{'} (0, y) - f_{y}^{'} (0, 0)] = 0

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8. 设函数

f (x, y)

连续，则二次积分

\int_{\frac{π}{2}}^{π} d x \int_{\sin x}^{1} f (x, y) d y

等于

A.

\int_{0}^{1} d y \int_{π + \arcsin y}^{π} f (x, y) d x

B.

\int_{0}^{1} d y \int_{π - \arcsin y}^{π} f (x, y) d x

C.

\int_{0}^{1} d y \int_{\frac{π}{2}}^{π + \arcsin y} f (x, y) d x

D.

\int_{0}^{1} d y \int_{\frac{π}{2}}^{π - \arcsin y} f (x, y) d x

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9. 设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关，则下列向量组线性相关的是

A.

α_{1} - α_{2}, α_{2} - α_{3}, α_{3} - α_{1}

B.

α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{3} + α_{1}

C.

α_{1} - 2 α_{2}, α_{2} - 2 α_{3}, α_{3} - 2 α_{1}

D.

α_{1} + 2 α_{2}, α_{2} + 2 α_{3}, α_{3} + 2 α_{1}

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10. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{array}) ， B = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

, 则

A

与

B

A.

合同且相似

B.

合同但不相似

C.

不合同但相似.

D.

既不合同，又不相似

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

11.

lim_{x \to 0} \frac{\arctan x - \sin x}{x^{3}} =

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12. 曲线

{\begin{cases} x = \cos t + \cos^{2} t \\ y = 1 + \sin t \end{cases}

上对应于

t = \frac{π}{4}

的点处的法线斜率为

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13. 设函数

y = \frac{1}{2 x + 3}

，则

y^{(n)} (0) =

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14. 二阶常系数非齐次线性微分方程

y^{''} - 4 y^{'} + 3 y = 2 e^{2 x}

的通解为

y =

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15. 设

f (u, v)

是二元可微函数，

z = f (\frac{y}{x}, \frac{x}{y})

，则

x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y} =

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16. 设矩阵

A = (\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

，则

A^{3}

的秩为

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三、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 设

f (x)

是区间

[0, \frac{π}{4}]

上的单调、可导函数，且满足

\int_{0}^{f (x)} f^{- 1} (t) d t = \int_{0}^{x} t \frac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t} d t

其中

f^{- 1}

是

f

的反函数，求

f (x)

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18. 设

D

是位于曲线

y = \sqrt{x} a^{- \frac{x}{2 a}} (a > 1, 0 \leq x < + \infty)

下方、

x

轴上方的无界区域.
(1) 求区域

D

绕

x

轴旋转一周所成旋转体的体积

V (a)

；
(2) 当

a

为何值时，

V (a)

最小?并求此最小值.

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19. 求

y^{''} (x + y^{' 2}) = y^{'}

满足初始条件

y (1) = y^{'} (1) = 1

的特解。

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20. 已知函数

f (u)

具有二阶导数，且

f^{'} (0) = 1

，函数

y = y (x)

由方程

y - x e^{y - 1} = 1

所确定，设

z = f (\ln y - \sin x)

求

{\frac{d z}{d x} |}_{x = 0}, {\frac{d^{2} z}{d x^{2}} |}_{x = 0}

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21. 设函数

f (x), g (x)

在

[a, b]

上连续，在

(a, b)

具有二阶导数且存在相等的最大值,

f (a) = g (a), f (b) = g (b)

. 证明:存在

ξ \in (a, b)

，使得

f^{''} (ξ) = g^{''} (ξ)

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22. 设二元函数

f (x, y) = {\begin{cases} x^{2}, & | x | + | y | \leq 1 \\ \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}, & 1 < | x | + | y | \leq 2 \end{cases}

计算二重积分

\iint_{D} f (x, y) d σ

，其中

D = {(x, y) ∥ x | + | y ∣\leq 2}

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23. 设线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 \\ x_{1} + 2 x_{2} + a x_{3} = 0 \\ x_{1} + 4 x_{2} + a^{2} x_{3} = 0 \end{cases}

与方程组

x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = a - 1

有公共解，求

a

的值及所有公共解.

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24. 设 3 阶对称矩阵

A

的特征值

λ_{1} = 1, λ_{2} = - 2, λ_{3} = - 2

，且

α_{1} = (1, - 1, 1)^{T}

是

A

的属于

λ_{1}

的一个特征向量，记

B = A^{5} - 4 A^{3} + E,

其中

E

为 3 阶单位矩阵.
(1) 验证

α_{1}

是矩阵

B

的特征向量，并求

B

的全部特征值与特征向量;
(2) 求矩阵

B

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