2007年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数二)



一、单选题 (共 10 题 ),每题只有一个选项正确
1.x0+时,与 x 等价的无穷小量是
A. 1ex B. ln1+x1x C. 1+x1 D. 1cosx

2. 函数 f(x)=(e1x+e)tanxx(e1xe)[π,π] 上的第一类间断点是 x=
A. 0 B. 1 C. π2 D. π2

3. 连续函数 y=f(x) 在区间 [3,2][2,3] 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周,在区间 [2,0][0,2] 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周,设 F(x)=0xf(t)dt ,则下列结论正确的是
A. F(3)=34F(2) B. F(3)=34F(2) C. F(3)=34F(2) D. F(3)=54F(2)

4. 设函数 f(x)x=0 处连续,下列命题错误的是
A.limx0f(x)x 存在,则 f(0)=0 B.limx0f(x)+f(x)x 存在,则 f(0)=0 C.limx0f(x)x 存在,则 f(0) 存在 D.limx0f(x)f(x)x 存在,则 f(0) 存在

5. 曲线 y=1x+ln(1+ex) 渐近线的条数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

6. 设函数 f(x)(0,+) 上具有二阶导数,且 f(x)>0 ,令 un=f(n)(n=1,2,), 则下列结论正确的是
A.u1>u2 ,则 {un} 必收敛 B.u1>u2 ,则 {un} 必发散 C.u1<u2 ,则 {un} 必收敛 D.u1<u2 ,则 {un} 必发散

7. 二元函数 f(x,y) 在点 (0,0) 处可微的一个充分条件是
A. lim(x,y)(0,0)[f(x,y)f(0,0)]=0 B. limx0f(x,0)f(0,0)x=0 ,且 limy0f(0,y)f(0,0)y=0 C. lim(x,y)(0,0)f(x,y)f(0,0)x2+y2=0 D. limx0[fx(x,0)fx(0,0)]=0 ,且 limy0[fy(0,y)fy(0,0)]=0

8. 设函数 f(x,y) 连续,则二次积分 π2πdxsinx1f(x,y)dy等于
A. 01 dyπ+arcsinyπf(x,y)dx B. 01 dyπarcsinyπf(x,y)dx C. 01 dyπ2π+arcsinyf(x,y)dx D. 01 dyπ2πarcsinyf(x,y)dx

9. 设向量组 α1,α2,α3 线性无关,则下列向量组线性相关的是
A. α1α2,α2α3,α3α1 B. α1+α2,α2+α3,α3+α1 C. α12α2,α22α3,α32α1 D. α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1

10. 设矩阵 A=(211121112)B=(100010000), 则 AB
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似. D. 既不合同,又不相似

二、填空题 (共 6 题 ),请把答案直接填写在答题纸上
11. limx0arctanxsinxx3=

12. 曲线 {x=cost+cos2ty=1+sint 上对应于 t=π4 的点处的法线斜率为

13. 设函数 y=12x+3 ,则 y(n)(0)=

14. 二阶常系数非齐次线性微分方程 y4y+3y=2e2x的通解为 y=

15.f(u,v) 是二元可微函数, z=f(yx,xy) ,则
xzxyzy=

16. 设矩阵 A=(0100001000010000) ,则 A3 的秩为

三、解答题 (共 8 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17.f(x) 是区间 [0,π4] 上的单调、可导函数,且满足
0f(x)f1(t)dt=0xtcostsintsint+cost dt

其中 f1f 的反函数,求 f(x).

18.D 是位于曲线
y=xax2a(a>1,0x<+)

下方、 x 轴上方的无界区域.
(1) 求区域 Dx 轴旋转一周所成旋转体的体积 V(a)
(2) 当 a 为何值时, V(a) 最小?并求此最小值.

19.y(x+y2)=y 满足初始条件 y(1)=y(1)=1 的特解。

20. 已知函数 f(u) 具有二阶导数,且 f(0)=1 ,函数 y=y(x) 由方程 yxey1=1 所确定,设
z=f(lnysinx)

dz dx|x=0,d2z dx2|x=0.

21. 设函数 f(x),g(x)[a,b] 上连续,在 (a,b)具有二阶导数且存在相等的最大值, f(a)=g(a),f(b)=g(b). 证明:存在 ξ(a,b) ,使得 f(ξ)=g(ξ).

22. 设二元函数
f(x,y)={x2,|x|+|y|11x2+y2,1<|x|+|y|2

计算二重积分 Df(x,y)dσ ,其中
D={(x,y)x|+|y∣≤2}

23. 设线性方程组
{x1+x2+x3=0x1+2x2+ax3=0x1+4x2+a2x3=0

与方程组
x1+2x2+x3=a1

有公共解,求 a 的值及所有公共解.

24. 设 3 阶对称矩阵 A 的特征值 λ1=1,λ2=2,λ3=2 ,且 α1=(1,1,1)TA 的属于 λ1 的一个特征向量,记
B=A54A3+E,

其中 E 为 3 阶单位矩阵.
(1) 验证 α1 是矩阵 B 的特征向量,并求 B 的全部特征值与特征向量;
(2) 求矩阵 B.

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