单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-1)^n$ 在 $x=3$ 处条件收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n}(x+1)^n$ 在 $x=-3$ 处
$\text{A.}$ 绝对收敛
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 敛散性不确定
下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum a_n x^n$ 的收敛半径为 $R$ ，则 $\sum\left(a_n x^n\right)^{\prime}$ (导数)的收敛半径也是 $R$
$\text{B.}$ 若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 有任意阶导数，则有$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n $
$\text{C.}$ 若 $\sum a_n x^n$ 的收敛半径为 $R$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=R$
$\text{D.}$ 设 $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)$ 是周期为 $2 \pi$ 的函数 $f(x)$的傅里叶级数，则在 $f(x)$ 的定义域内，有 $ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right) $
设函数 $f(x)$ 是 $(-\infty, \infty)$ 上以 $2 \pi$ 为周期的周期函数，且在区间 $(0,2 \pi]$ 上有 $f(x)=x^2(0 < x \leq 2 \pi)$ ，则 $f(x)$ 的傅里叶系数中 $a_0$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{2 \pi^2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{4 \pi^2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{8 \pi^2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{10 \pi^2}{3}$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x < \frac{1}{2}, \\ 1, & \frac{1}{2} \leq x \leq 1\end{array}\right.$ 的正弦级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} b_n \sin n \pi x$的和函数为 $S(x)$ ，其中
$$
b_n=2 \int_0^1 f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x(n=1,2, \cdots),
$$
则 $S\left(\frac{7}{2}\right)$ 和 $S(7)$ 的值分别为
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}, 0$
$\text{B.}$ $-\frac{3}{4}, 0$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}, 1$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}, 1$
已知函数 $f(x)=x^2, 0 \leq x \leq 1$ ，记 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x$ ，其中 $b_n=2 \int_0^1 f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x(n=1,2, \cdots)$ ，则当 $x \in(1,2)$ 时， $S(x)=(\quad)$
$\text{A.}$ $x^2$
$\text{B.}$ $-x^2$
$\text{C.}$ $(x-2)^2$
$\text{D.}$ $-(x-2)^2$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n+1}}{3^n}$ 的收敛域为
函数 $\cos x$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处的幂级数展开为
幂级数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{(2 k-1)!} x^{2 k}$ 的和函数 $S(x)=$
$\int_0^1 x\left(1-\frac{x^2}{1!}+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\cdots\right) \mathrm{d} x=$
已知 $f(x)=x^2-x, 0 \leq x \leq 1$, 记 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x$ ，其中 $b_n=2 \int_0^1 f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ，则当 $x \in(1,2)$ 时， $S(x)=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $x>0$ ，试讨论级数
$$
1-\frac{1}{2^x}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4^x}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6^x}+\cdots
$$
的敛散性.
设 $f(x)=\frac{x-1}{4-x}$ ，求函数 $f(x)$ 关于 $x-1$ 的幂级数展开式，并求 $f^{(n)}(1)$.
(1) 将函数 $f(x)=x \cos x^2$ 展开成麦克劳林级数；
(2) 求数值级数 $\frac{1}{2}-\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2!}+\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{4!}-\frac{1}{14} \cdot \frac{1}{6!}+\cdots$ 的和.
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n \cdot 4^n}$ 的收敛域与和函数.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n+1}}{n(2 n+1)}$ 的收敛域与和函数.
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2+1}{n!} x^n$ 的收敛域与和函数，并求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2+1}{2^n \cdot n!}$ 的和.
设 $y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4 n}}{(4 n)!},-\infty < x < +\infty$.
(1) 验证 $y=y(x)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}-y=-\cos x$ ；
(2) 试求 $y(x)$ 的表达式.
设幂级数 $y(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} a_k x^k(-\infty < x < +\infty)$ 满足微分方程初值问题:
$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}+2 y=0 \\
y(0)=1, y^{\prime}(0)=0
\end{array}\right.
$$
(1) 证明: $a_{k+2}=-\frac{2}{k+2} a_k, k=0,1,2, \cdots$;
(2)求 $y(x)$ 的表达式.
设 $f(x)= \begin{cases}x^2, & -1 \leq x \leq 0, \\ x-1,0 < x \leq 1,\end{cases}$
$$
a_n=\int_{-1}^1 f(x) \cos n \pi x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots .
$$
求函数 $f(x)$ 对应的以周期为 2 的傅里叶级数在 $[-1,1]$ 上的和函数并求 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n a_n$.
设 $S(x)$ 为幂级数
$$
x+\frac{x^3}{1 \cdot 3}+\frac{x^5}{1 \cdot 3 \cdot 5}+\ldots+\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!!}+\cdots
$$
的和函数.
(1) 求 $S(x)$ 的定义域;
(2) 证明 $S(x)$ 满足微分方程初值问题
$$
S^{\prime}(x)-x S(x)=1, \quad S(0)=0 ；
$$
(3) 写出 $S(x)$ 的积分表达式.