线性代数同步练习（一）：矩阵运算

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线性代数同步练习（一）：矩阵运算

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

1. 设

A 、 B

是

n

阶方阵, 下列等式正确的是

A.

(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}

;

B.

(A - B) (A + B) = A^{2} - B^{2}

;

C.

(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}

;

D.

(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}

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2. 设

A 、 B

是同阶对称矩阵, 则

A B

是

A.

对称矩阵;

B.

非对称矩阵;

C.

反对称矩阵;

D.

不一定是对称矩阵;

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3. 若矩阵

A

与

B

可以相加, 则必有

A.

A

与

B

可以相乘;

B.

B

与

A

可以相乘;

C.

A

与

B^{T}

可以相乘;

D.

A

与

B

不能相减.

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二、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

4. 如果已知

A

为

l \times n

矩阵,

B A^{T}

为

r \times l

矩阵, 则

B

为 ________ 矩阵

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5. 已知

A = (\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}), B = (\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{array})

则

A + B =

________ ,

2 A - 3 B =

________ .

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6. 若

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3 \\ 2 & - 1 & 0 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{array})

, 则

A B =

________

B A =

________

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三、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

7. 计䈯:

(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \end{array}) + \frac{1}{2} (\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 4 & 10 \\ 0 & - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & - 2 \end{array})

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8. 已知

A = (\begin{array}{cccc} 3 & 0 & - 1 & 2 \\ 2 & 8 & 3 & 1 \end{array}) B = (\begin{array}{cccc} 5 & 6 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 7 & - 1 \end{array})

, 而且

A + 2 X = B

, 求

X

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9. 设

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & - 1 \\ 2 & 1 & 4 \end{array})

, 计䈯: (1).

A^{2} - B^{2}; (2) (A - B) (A + B); (3) (A + B) (A - B)

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10. 设

A = (1, 2, 3, 4)^{T}, B = (1, 2, 3, 4)

, 求:

(1) A B; (2) B A; (3) (A B B A)

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11. 设

f (x) = x^{2} - 4 x + 3, A = (\begin{array}{cc} 2 & - 1 \\ - 3 & 4 \end{array})

, 求

f (A)

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12. 设

A = (\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array})

, 求所有的与

A

可交换的矩阵

B

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13. 设

A

为

3 \times 1

矩阵, 如果

A A^{T} = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 1 \\ - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array})

, 求

A

和

A^{T} A

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