单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A 、 B$ 是 $n$ 阶方阵, 下列等式正确的是
$\text{A.}$ $(A+B)^2=A^2+2 A B+B^2$;
$\text{B.}$ $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$;
$\text{C.}$ $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$;
$\text{D.}$ $(A+B)^2=A^2+A B+B A+B^2$.
设 $A 、 B$ 是同阶对称矩阵, 则 $A B$ 是
$\text{A.}$ 对称矩阵;
$\text{B.}$ 非对称矩阵;
$\text{C.}$ 反对称矩阵;
$\text{D.}$ 不一定是对称矩阵;
若矩阵 $A$ 与 $B$ 可以相加, 则必有
$\text{A.}$ $A$ 与 $B$ 可以相乘;
$\text{B.}$ $B$ 与 $A$ 可以相乘;
$\text{C.}$ $A$ 与 $B^T$ 可以相乘;
$\text{D.}$ $A$ 与 $B$ 不能相减.
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
如果已知 $A$ 为 $l \times n$ 矩阵, $B A^T$ 为 $r \times l$ 矩阵, 则 $B$ 为 ________ 矩阵
已知 $A=\left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 2 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right)$ 则 $A+B=$ ________ , $2 A-3 B=$ ________ .
若 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & 3 \\ 4 & 0\end{array}\right)$, 则 $A B=$ ________ $BA=$ ________
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计䈯: $\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 5\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccc}2 & 1 & 4 & 10 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & -2\end{array}\right)$
已知 $A=\left(\begin{array}{cccc}3 & 0 & -1 & 2 \\ 2 & 8 & 3 & 1\end{array}\right) B=\left(\begin{array}{cccc}5 & 6 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 7 & -1\end{array}\right)$, 而且 $A+2 X=B$, 求 $X$.
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 4\end{array}\right)$, 计䈯: (1). $A^2-B^2 ;(2)(A-B)(A+B) ;(3)(A+B)(A-B)$.
设 $A=(1,2,3,4)^T, B=(1,2,3,4)$, 求:
$(1) A B ;(2) B A ;(3)(A B B A)$.
设 $f(x)=x^2-4 x+3, A=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -3 & 4\end{array}\right)$, 求 $f(A)$.
设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$, 求所有的与 $A$ 可交换的矩阵 $B$.
设 $A$ 为 $3 \times 1$ 矩阵, 如果 $A A^T=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)$, 求 $A$ 和 $A^T A$.