单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
将关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+x-1=2(x-3)$ 化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为
$\text{A.}$ $1,-4$
$\text{B.}$ $-1,5$
$\text{C.}$ $-1,-5$
$\text{D.}$ $1,-6$
已知关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^2-(2 k-1) x+k-2=0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $k$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\mathrm{k}>-\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\mathrm{k} < \frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\mathrm{k}>-\frac{1}{4}$ 且 $k \neq 0$
$\text{D.}$ $k < \frac{1}{4}$ 且 $k \neq 0$
已知关于 ${x}$ 的一元二次方程 $x^2-2 x+m=0$ 有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为 $\mathrm{b}$ ，令 $y=4 b^2-8 b+3 m+2$ ， 则
$\text{A.}$ $y>1$
$\text{B.}$ $y \geq 1$
$\text{C.}$ $y \leq 1$
$\text{D.}$ $y < 1$
2023 年 4 月 23 是第 28 个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院 600 人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院 2850 人次，若进书院人次的月平均增长率为 $x$ ，则可列方程为
$\text{A.}$ $600(1+2 x)=2850$
$\text{B.}$ $600(1+x)^2=2850$
$\text{C.}$ $600+600(1+x)+600(1+x)^2=2850$
$\text{D.}$ $2850(1-x)^2=600$
如图，在一块长为 $20 \mathrm{~m}$ ，宽为 $12 \mathrm{~m}$ 的矩形 $A B C D$ 空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的 4 倍，道路占地总面积为 $40 \mathrm{~m}^2$ ， 设道路宽为 $x \mathrm{~m}$ ，则以下方程正确的是
$\text{A.}$ $32 x+4 x^2=4$
$\text{B.}$ $32 x+8 x^2=40$
$\text{C.}$ $64 x-4 x^2=40$
$\text{D.}$ $64-8 x^2=40$
若 $x$ 为实数，且满足 $x^2+\frac{1}{x^2}-2\left(x+\frac{1}{x}\right)-1=0$ ，则 $x+\frac{1}{x}=$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -1 或 3
$\text{D.}$ 无法确定
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $x^2-(2 k+1) x+(3 k-1)=0$.
(1) 求证: 无论 $k$ 取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的一个根为 1 时，求 $k$ 的值及该方程的另一个根.
当解某些计算较复杂的一元二次方程时，可考虑用 “缩根法” 简化运算. “缩根法” 是指将一元二次方程先转化成系数比原方程简单的新一元二次方程，然后解新一元二次方程，并将新方程的两根同时缩小，从而得到原方程的两个根.
已知：关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^2+b x+c=0(a \neq 0)$ 的两个根分别为 $x_1=\alpha ， x_2=\beta$ ，求关于 $x$ 的一元二次方程 $p^2 a x^2+p b x+c=0(a p \neq 0)$ 的两根.
解：因为 $p^2 a x^2+p b x+c=0(a p \neq 0)$ ，
所以 $a(p x)^2+b \cdot p x+c=0$.
令 $p x=x^{\prime}$ ， 得新方程 $a x^{\prime 2}+b x^{\prime}+c=0$.
因为新方程的解为 $x_1^{\prime}=\alpha ， x_2^{\prime}=\beta$ ，所以 $p x=\alpha ， p x=\beta$ ，所以原方程的两个根分别为 $x_1=\frac{\alpha}{p} ， x_2=\frac{\beta}{p}$.
这种解一元二次方程的方法叫做 “缩根法”。
举例: 用缩根法解方程 $49 x^2+35 x-24=0$.
解: 因为 $49=7^2 ， 35=5 \times 7$ ， 所以 $(7 x)^2+5 \times 7 x-24=0$ ，令 $7 x=x^{\prime}$ ， 得新方程 $x^{\prime 2}+5 x^{\prime}-24=0$.
解新方程，得 $x_1^{\prime}=3 ， x_2^{\prime}=-8$ ， 所以 $7 x=3 ， 7 x=-8$ ，
所以原方程的两个根分别为 $x_1=\frac{3}{7} ， x_2=-\frac{8}{7}$.
请利用上面材料中的缩根法解下列方程:
(1) $36 x^2-6 x-1=0$ ；
(2) $3 x^2+160 x-256000=0$.
请阅读下列材料:
问题: 已知方程 $x^2+x-1=0$ ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍.
解: 设所求方程的根为 $y$ ，则 $y=2 x$ ，所以 $x=\frac{y}{2}$ ，把 $x=\frac{y}{2}$ 代入已知方程，得 $\left(\frac{y}{2}\right)^2+\frac{y}{2}-1=0$ ；化简，得 $y^2+2 y-4=0$ ；故所求方程为 $y^2+2 y-4=0$.
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为 “换根法”；
请用阅读材料提供的 “换根法” 求新方程 (要求: 把所求方程化为一般形式)：
（1）已知方程 $x^2+3 x-2=0$ ， 求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
（2）已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^2-b x+c=0(a \neq 0)$ 有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.