2024年中考数学一元二次方程专项训练

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2024年中考数学一元二次方程专项训练

一、单选题（共 6 题），每题只有一个选项正确

1. 将关于

x

的一元二次方程

x^{2} + x - 1 = 2 (x - 3)

化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为

A.

1, - 4

B.

- 1, 5

C.

- 1, - 5

D.

1, - 6

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2. 已知关于

x

的一元二次方程

k x^{2} - (2 k - 1) x + k - 2 = 0

有两个不相等的实数根，则实数

k

的取值范围是

A.

k > - \frac{1}{4}

B.

k < \frac{1}{4}

C.

k > - \frac{1}{4}

且

k \neq 0

D.

k < \frac{1}{4}

且

k \neq 0

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3. 已知关于

x

的一元二次方程

x^{2} - 2 x + m = 0

有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为

b

，令

y = 4 b^{2} - 8 b + 3 m + 2

，则

A.

y > 1

B.

y \geq 1

C.

y \leq 1

D.

y < 1

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4. 2023 年 4 月 23 是第 28 个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院 600 人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院 2850 人次，若进书院人次的月平均增长率为

x

，则可列方程为

A.

600 (1 + 2 x) = 2850

B.

600 (1 + x)^{2} = 2850

C.

600 + 600 (1 + x) + 600 (1 + x)^{2} = 2850

D.

2850 (1 - x)^{2} = 600

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5. 如图，在一块长为

20 m

，宽为

12 m

的矩形

A B C D

空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的 4 倍，道路占地总面积为

40 m^{2}

，设道路宽为

x m

，则以下方程正确的是

A.

32 x + 4 x^{2} = 4

B.

32 x + 8 x^{2} = 40

C.

64 x - 4 x^{2} = 40

D.

64 - 8 x^{2} = 40

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6. 若

x

为实数，且满足

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2 (x + \frac{1}{x}) - 1 = 0

，则

x + \frac{1}{x} =

A.

-1

B.

C.

-1 或 3

D.

无法确定

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二、解答题（共 3 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

7. 已知关于

x

的方程

x^{2} - (2 k + 1) x + (3 k - 1) = 0

.
(1) 求证: 无论

k

取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的一个根为 1 时，求

k

的值及该方程的另一个根.

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8. 当解某些计算较复杂的一元二次方程时，可考虑用 “缩根法” 简化运算. “缩根法” 是指将一元二次方程先转化成系数比原方程简单的新一元二次方程，然后解新一元二次方程，并将新方程的两根同时缩小，从而得到原方程的两个根.
已知：关于

x

的一元二次方程

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)

的两个根分别为

x_{1} = α ， x_{2} = β

，求关于

x

的一元二次方程

p^{2} a x^{2} + p b x + c = 0 (a p \neq 0)

的两根.
解：因为

p^{2} a x^{2} + p b x + c = 0 (a p \neq 0)

，
所以

a (p x)^{2} + b \cdot p x + c = 0

.
令

p x = x^{'}

，得新方程

a x^{' 2} + b x^{'} + c = 0

.
因为新方程的解为

x_{1}^{'} = α ， x_{2}^{'} = β

，所以

p x = α ， p x = β

，所以原方程的两个根分别为

x_{1} = \frac{α}{p} ， x_{2} = \frac{β}{p}

.
这种解一元二次方程的方法叫做 “缩根法”。
举例: 用缩根法解方程

49 x^{2} + 35 x - 24 = 0

.
解: 因为

49 = 7^{2} ， 35 = 5 \times 7

，所以

(7 x)^{2} + 5 \times 7 x - 24 = 0

，令

7 x = x^{'}

，得新方程

x^{' 2} + 5 x^{'} - 24 = 0

.
解新方程，得

x_{1}^{'} = 3 ， x_{2}^{'} = - 8

，所以

7 x = 3 ， 7 x = - 8

，
所以原方程的两个根分别为

x_{1} = \frac{3}{7} ， x_{2} = - \frac{8}{7}

.
请利用上面材料中的缩根法解下列方程:
(1)

36 x^{2} - 6 x - 1 = 0

；
(2)

3 x^{2} + 160 x - 256000 = 0

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9. 请阅读下列材料:
问题: 已知方程

x^{2} + x - 1 = 0

，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍.
解: 设所求方程的根为

y

，则

y = 2 x

，所以

x = \frac{y}{2}

，把

x = \frac{y}{2}

代入已知方程，得

{(\frac{y}{2})}^{2} + \frac{y}{2} - 1 = 0

；化简，得

y^{2} + 2 y - 4 = 0

；故所求方程为

y^{2} + 2 y - 4 = 0

.
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为 “换根法”；
请用阅读材料提供的 “换根法” 求新方程 (要求: 把所求方程化为一般形式)：
（1）已知方程

x^{2} + 3 x - 2 = 0

，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
（2）已知关于

x

的一元二次方程

a x^{2} - b x + c = 0 (a \neq 0)

有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.

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