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试题分类	不等式不等式组 (x) 确定
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试题题目	已知二次函数 $y=-x^{2}+6 x-5$. (1) 求二次函数图象的顶点坐标; （2）当 $1 \leqslant x \leqslant 4$ 时, 函数的最大值和最小值分别为多少? (3) 当 $t \leqslant x \leqslant t+3$ 时, 函数的最大值为 $m$, 最小值为 $n$, 若 $m-n=3$, 求 $t$ 的值.
问题选项
参考答案	解: (1) $\because y=-x^{2}+6 x-5=(x-3)^{2}+4$, $\therefore$ 顶点坐标为 $(3,4)$; (2) $\because$ 顶点坐标为 $(3,4)$, $\therefore$ 当 $x=3$ 时, $y_{\text {蚛 } z}=4$, $\because$ 当 $1 \leqslant x \leqslant 3$ 时, $y$ 随着 $x$ 的增大而增大, $\therefore$ 当 $x=1$ 时, $y_{\text {䋆杏 }}=0$, $\because$ 当 $3<x \leqslant 4$ 时, $y$ 随着 $x$ 的增大而减小, $\therefore$ 当 $x=4$ 时, $y_{\text {言洉 }}=3$. $\therefore$ 当 $1 \leqslant x \leqslant 4$ 时, 函数的最大值为 4 , 最小值为 0 ; (3) 当 $t \leqslant x \leqslant t+3$ 时, 对 $t$ 进行分类讨论, (1) 当 $t+3<3$ 时, 即 $t<0, y$ 随着 $x$ 的增大而增大, 当 $x=t+3$ 时, $m=(t+3)^{2}+6(t+3)-5=-t^{2}+4$, 当 $x=t$ 时, $n=-t^{2}+6 t-5$, $\therefore m-n=-=-t^{2}+4-\left(-t^{2}+6 t-5\right)=-6 t+9$, $\therefore-6 t+9=3$, 解得 $t=1$ (不合题意, 舍去), (2) 当 $0 \leqslant t<3$ 时, 顶点的横坐标在取值范围内, $\therefore m=4$, i) 当 $0 \leqslant t \leqslant \frac{3}{2}$ 时, 在 $x=t$ 时, $n=-t^{2}+6 t-5$, $\therefore m-n=4-\left(-t^{2}+6 t-5\right)=t^{2}-6 t+9$, $\therefore t^{2}-6 t+9=3$, 解得 $t_{1}=3-\sqrt{3}, t_{2}=3+\sqrt{3}$ (不合题音, 舍去); it) 当 $\frac{3}{2}<t<3$ 时, 在 $x=t+3$ 时, $n=-t^{2}+4$, $\therefore m-n=4-\left(-t^{2}+4\right)=t^{2}$, $\therefore t^{2}=3$, 解得 $t_{1}=\sqrt{3}, t_{2}=-\sqrt{3}$ (不合题意, 舍去), (3)当 $\geqslant 3$ 时, $y$ 随着 $x$ 的增大而减小, 当 $x=t$ 时, $m=-t^{2}+6 t-5$, 当 $x=t+3$ 时, $n=-(t+3)^{2}+6(t+3)-5=-t^{2}+4$, $m-n=-t^{2}+6 t-5-\left(-t^{2}+4\right)=6 t-9$, $\therefore 6 t-9=3$, 解得 $t=2$ (不合题音, 舍去), 综上所述, $t=3-\sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3}$.
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