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同济大学《隐函数导数、全微分、偏导数》训练

发布日期 2026/4/24 22:25:39      查看 7      加入组卷      查看作者     
解答题
设函数 $\Phi(u, v)$ 具有连续偏导数，证明由方程 $\Phi(c x-a z, c y-b z)=0$ 所确定的函数 $z=f(x, y)$ 满足 $a \frac{\partial z}{\partial x}+b \frac{\partial z}{\partial y}=c$.
求由方程 $f(x-y, y-z, z-x)=0$ 所确定的函数 $z=z(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{d} z$ ，其中 $f$ 的偏导连续且 $f_2^{\prime} \neq f_3^{\prime}$ ．
求方程组 $\left\{\begin{array}{l}x y z=1, \\ x^2+2 y^2+3 z^2=6\end{array}\right.$ 所确定的隐函数的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x}$ ．
设 $y=f(x, t)$ ，而 $t$ 是由方程 $F(x, y, t)=0$ 所确定的 $x, y$ 的函数，其中 $f, F$ 都具有一阶连续偏导数，试证明：$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial t}-\frac{\partial f}{\partial t} \frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial t} \frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial t}}$
设函数 $u=x^2+y z$ ，而 $z=z(x, y)$ 是由方程 $z=f(x, y+z)$ 确定的可微函数，其中 $f$ 具有连续的偏导且 $f_2^{\prime} \neq 1$ ，求偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}$
求函数 $z=f\left(\frac{x^2-y^2}{2}, x y\right)$ 的 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数．
设 $f(x, y)=x+(y-1) \arcsin \sqrt{\frac{|x|}{y}}$ ，求 $f_x(0,1)$
若在某一包含点 $p(x, y)$ 在内的区域上 $f(x, y)$ 的偏导数 $f_x(x, y), f_y(x, y)$ 存在而且有界，则它在这个区域上连续．这个命题是否正确？
证明： $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^2 y}{x^2+y^2}=0$ ．
证明： $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^2 y}{x^4+y^2}$ 不存在．
证明题
设函数 $f(x) 、 g(x)$ 具有连续的二阶导数，证明：函数 $u=f(s+a t)+g(s-a t)$ 满足波动方程 $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial s^2}$ ，其中 $a$ 是常数
设有一圆柱体，它的底半径以 $0.1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速率在增大，而高度以 $0.2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度在减少，试求当底半径为 100 cm ，高 120 cm 时，
（1）圆柱体体积的变化率；
（2）圆柱体表面积的变化率．
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}}, & \text { 当 }(x, y) \neq(0,0), \\ 0, & \text { 当 }(x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 证明 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续并求 $f_x(0,0)$ 与 $f_y(0,0)$.
$f(x, y, z)=x^2(y+z) z+\mathrm{e}^{-y^2 \arctan \frac{x^3+z^2}{x+z}}$ ，求偏导数 $f_{x z}(x, 0, z)$ ．
求下列各极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^2|y|^{\frac{3}{2}}}{x^4+y^2}$

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