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上海交通大学《高等数学下》期末考试试卷第八套

发布日期 2026/4/14 19:26:43      查看 94      加入组卷      查看作者     
单选题
设 $F(x, y, z)$ 连续可微，$F_x \cdot F_y \cdot F_z \neq 0$ ，方程 $F(x, y, z)=0$ 可确定连续可微的隐函数 $z=z(x, y), y=y(z, x), x=y(y, z)$ ，则（ ）。
$\text{A.}$ $\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial z}=-3$ ； $\text{B.}$ $\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial z}=3$ ； $\text{C.}$ $\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial z}=-1$ ； $\text{D.}$ $\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial z}=1$ ．
向量场 $\boldsymbol{F}=(x+y, y z, 3 z-2 x)$ 在点 $(1,-1,2)$ 处的散度 $\left.\operatorname{div} \boldsymbol{F}\right|_{(1,-1,2)}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $(1,2,-1)$ ； $\text{B.}$ $(1,2,3)$ ； $\text{C.}$ 2 ； $\text{D.}$ 6 ．
设级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 绝对收敛，则幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径 $R$ 为（）．
$\text{A.}$ $R=1$ ； $\text{B.}$ $R>1$ ； $\text{C.}$ $R \leqslant 1$ ； $\text{D.}$ $R \geqslant 1$ ．
下面 3 个命题中，正确的命题个数为（ ）。
（1）若 $f(x, y)$ 在闭区域 $D\left(D \subset \mathbf{R}^2\right)$ 上连续，则 $f(x, y)$ 在 $D$ 上有界；
（2）若 $f_x\left(x_0, y_0\right), f_y\left(x_0, y_0\right)$ 存在，则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续；
（3）若对任意 $l$ ，方向导数 $\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处可微．
$\text{A.}$ 0 ； $\text{B.}$ 1 ； $\text{C.}$ 2 ； $\text{D.}$ 3 ．
下面 4 个命题中，正确的命题个数为 ．
（1）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 发散；
（2）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n} u_n\right)$ 绝对收敛；
（3）．若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛；
（4）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{v_n}{u_n}=0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛．
$\text{A.}$ 4； $\text{B.}$ 3 ； $\text{C.}$ 2 ； $\text{D.}$ 1 ．
填空题
曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=\mathrm{e}^{2 z} \\ 3 x+y+z-3=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,0,0)$ 处的切线为
微分方程 $2 \mathrm{e}^{2 x} \sin y \mathrm{~d} x+\left(\mathrm{e}^{2 x} \cos y+y^2\right) \mathrm{d} y=0$ 的通解为
设 $z=\ln \left(\tan \frac{x}{y}\right)$ ，则 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}(x-2)^{2 n-1}$ 的收敛区域为
（利用 $\ln (1+x)$ 的幂级数展开式计算）定积分 $\int_0^1 \frac{\ln (1+x)}{x} \mathrm{~d} x=$
解答题
曲线 $C$ 是圆柱面 $x^2+y^2=2$ 与平面 $x+y+z=2$ 的交线，
（1）求曲线 $C$ 的参数方程；
（2）求原点到此曲线 $C$ 的最短距离和最大距离．
计算曲线积分 $\int_C \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{3(|x|+|y|)}$ ，其中 $C$ 为封闭曲线 $|x|+|y|=1$ 上从点 $A(1,0)$ 到 $B(0,1)$ ，再到 $C(-1,0)$ 的有向折线段．
求双曲抛物面 $S: 2 z=x^2-y^2$ 被柱面 $x^2+y^2=1$ 截下部分曲面的质量，已知曲面 $S$ 上任一点 $(x, y, z)$ 处的质量面密度为 $6+x+2 y$
设 $\Sigma$ 为任意闭曲面，$I=\iint_{\Sigma_{\text {外惿 }}}\left(x-\frac{1}{3} x^3\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-\frac{4}{3} y^3 \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(3 y- \left.\frac{1}{3} z^3\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$,
（1）证明：$\Sigma$ 为椭球面 $x^2+4 y^2+z^2=1$ 时，$I$ 达到最大值；
（2）求 $I$ 的最大值．
求抛物面 $z=x^2+3 y^2$ 在某点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切平面 $\pi$ ，使其与平面 $4 x- 6 y+z-3=0$ 平行．
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{5 n-1}{3^n}$ 的和．
将函数 $f(x)=\left(1+\mathrm{e}^x\right)^2$ 展开为麦克劳林级数，并求 $f^{(n)}(0), n=1$ ， $2, \cdots$ ．
证明题
设级数 $\sum_{k=2}^{\infty} a_k x^k$ 在 $[0,1]$ 上收敛，$f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} a_n x^n$ ，证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 收敛。