单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
下述各选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n^2$ 都收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)^2$ 收敛。
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n v_n\right|$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n^2$ 都收敛。
$\text{C.}$ 若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，则 $u_n \geqslant \frac{1}{n}$ ．
$\text{D.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，且 $u_n \geqslant v_n(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 也收敛。
设$ u_n \neq 0(n=1,2,3, \cdots)$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{u_n}=1$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}}\right) $
$\text{A.}$ 发散．
$\text{B.}$ 绝对收敛．
$\text{C.}$ 条件收敛。
$\text{D.}$ 收敛性根据所给条件不能判定。
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) \sin (n+k)$（ $k$ 为常数）
$\text{A.}$ 绝对收敛．
$\text{B.}$ 条件收敛．
$\text{C.}$ 发散．
$\text{D.}$ 收敛性与 $k$ 有关．
若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-1)^n$ 在 $x=-1$ 处收敛，则此级数在 $x=2$ 处
$\text{A.}$ 条件收敛．
$\text{B.}$ 绝对收敛。
$\text{C.}$ 发散．
$\text{D.}$ 敛散性不能确定。
级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{2 n+3}{(2 n+1)!}=$
$\text{A.}$ $\sin 1+\cos 1$ ．
$\text{B.}$ $2 \sin 1+\cos 1$ ．
$\text{C.}$ $2 \sin 1+2 \cos 1$ ．
$\text{D.}$ $2 \sin 1+3 \cos 1$ ．
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $x^2=\sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos n x(-\pi \leqslant x \leqslant \pi)$ ，则 $a_2=$
将函数 $f(x)=1-x^2(0 \leqslant x \leqslant \pi)$ 展开成余弦级数，并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ 的和．
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^n}{n \cdot 3^n}$ 的收敛域．
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2 n)!} x^n$ 在 $(0,+\infty)$ 内的和函数 $S(x)=$
将函数 $f(x)=\frac{x}{2+x-x^2}$ 展开成 $x$ 的幂级数．
将函数 $y=\ln \left(1-x-2 x^2\right)$ 展成 $x$ 的幂级数，并指出其收敛区间．