解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & x\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ 相似．
（I）求 $x$ 与 $y$ ；
（II）求一个满足 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，其中 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 2 & x & 2 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & y\end{array}\right)$ ．
（I）求 $x$ 和 $y$ 的值；
（II）求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ ．
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & -2 & 1 \\ 2 & x & -2 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & y\end{array}\right)$ 相似．
（I）求 $x, y$ ；
（II）求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ ．
已知 $\boldsymbol{\xi}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2\end{array}\right)$ 的一个特征向量．
（I）试确定参数 $a, b$ 及特征向量 $\xi$ 所对应的特征值；
（II）问 $\boldsymbol{A}$ 能否相似于对角阵？说明理由．
若矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 0 \\ 8 & 2 & a \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right)$ 相似于对角阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ ，试确定常数 $a$ 的值；并求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使 $P^{-1} A P=\Lambda$.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ x & 4 & y \\ -3 & -3 & 5\end{array}\right)$ ，已知 $\boldsymbol{A}$ 有三个线性无关的特征向量，$\lambda=2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的二重特征值，试求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ 为对角矩阵．
设实对称矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 1 \\ 1 & a & -1 \\ 1 & -1 & a\end{array}\right)$ ，求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ 为对角矩阵，并计算行列式 $|\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}|$ 的值．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & a \\ 4 & a & 0\end{array}\right)$ ，正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 为对角矩阵，若 $\boldsymbol{Q}$ 的第一列为 $\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $a, Q$ ．
设三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是 $1,2,3$ ；矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 1,2 的特征向量分别是 $\boldsymbol{\alpha}_1=(-1,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1,-2,-1)^{\mathrm{T}}$ ．
（I）求 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 3 的特征向量；
（II）求矩阵 $\boldsymbol{A}$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的秩为 2 ，且 $\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 0 \\ -1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ．
（I）求 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值与特征向量；
（II）求矩阵 $\boldsymbol{A}$ ．