单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
行列式 $\left|\begin{array}{llll}a & 0 & 0 & b \\ 0 & x & y & 0 \\ 0 & u & v & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|$ 中元素 $c$ 的代数余子式是
$\text{A.}$ $b(x v-y u)$
$\text{B.}$ $b(y u-x v)$
$\text{C.}$ $c(y u-x v)$
$\text{D.}$ $c(x v-y u)$
设 A 为 3 阶矩阵，将按列分块为 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，且 $|A|=2$ ，记 $B=\left(\alpha_3, 3 \alpha_2,-2 \alpha_1+5 \alpha_3\right)$ ，则 $|B|=$
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 12
$\text{C.}$ $\quad-12$
$\text{D.}$ 24
设有矩阵 $A_{m \times l}, B_{l \times n}, C_{n \times m}$ ，则下列运算可行的是（）
$\text{A.}$ $A B+C$
$\text{B.}$ $A^T B^T+C$
$\text{C.}$ $B^T A^T+C$
$\text{D.}$ $A^T B+C$
设 A 为 $m \times n$ 矩阵， B 为 $n$ 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r ，矩阵 AB 的秩为 $r_1$ ，则（）
$\text{A.}$ $r=r_1$
$\text{B.}$ $r>r_1$
$\text{C.}$ $r < r_1$
$\text{D.}$ $r$ 与 $r_1$ 之间没有关系
齐次线性方程组 $A_{m \times \times n} x=O$ 存在非零解的充分必要条件为
$\text{A.}$ A 的列向量组线性无关
$\text{B.}$ A 的行向量组线性无关
$\text{C.}$ A 的列向量组线性相关
$\text{D.}$ A 的行向量组线性相关
$n$ 阶矩阵 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 相似的充分条件是
$\text{A.}$ $|A|=|B|$
$\text{B.}$ $r(A)=r(B)$
$\text{C.}$ A 与 B 有相同的特征多项式
$\text{D.}$ $n$ 阶矩阵 A 与 B 有相同的特征值且 $n$ 个特征值互不相同
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $a_{12} a_{m 4} a_{25} a_{4 n} a_{53}$ 为 5 阶行列式 $D=\left|a_{i j}\right|$ 中的一项，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ，$n=$ $\_\_\_\_$ ，该项的符号为 $\_\_\_\_$
设 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 为三阶矩阵，且 $|A|=3,|B|=-2$ ，则 $\left||A| A^{-1} B^T\right|=$
设 $A=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 0 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]$ ，则 $B^{50} A^{-1}=$
已知向量组 $\alpha=(a, 2,-2), \beta=(a, 2,0), \gamma=(0,1, a)$ 线性相关，则 $a=$
设三阶矩阵 A 与矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ 相似，则 $3 I-A^{-1}$ 的特征值为
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ -1 & x & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ 有特征值为 1,2 ，则 A 的另一特征值为 $\_\_\_\_$ ，$x=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 4 \\ -2 & 4 & 5 & 3\end{array}\right|$
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & -2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 2 & 1 \\ 0 & -3\end{array}\right)$ ，满足 $A X-2 B=X$ ，求 X ．
求下列向量组的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组表示
$$
\begin{aligned}
& \alpha_1=(1,4,0,2), \quad \alpha_2=(2,7,1,3), \quad \alpha_3=(1,-1,2,0), \\
& \alpha_4=(3,10,2,4), \quad \alpha_5=(0,1,-1,1),
\end{aligned}
$$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 0 \\ 8 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right)$
（1）求矩阵 A 的特征值和特征向量；
（2）求正交矩阵 Q 使得 $Q^{-1} A Q$ 为对角矩阵．
设 A 是 $\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{n}$ 矩阵， B 是 $\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{m}$ 矩阵， I 是 n 阶单位矩阵 $(\mathrm{m}>\mathrm{n})$ ，已知 $\mathrm{BA}=\mathrm{I}$ ，试判断 A的列向量组是否线性相关？为什么？
设线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+a_1 x_2+a_1^2 x_3=a_1^3 \\
x_1+a_2 x_2+a_2^2 x_3=a_2^3 \\
x_1+a_3 x_2+a_3^2 x_3=a_3^3 \\
x_1+a_4 x_2+a_4^2 x_3=a_4^3
\end{array}\right.
$$
（1）若 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 两两不相等，则此线性方程组无解；
（2）设 $a_1=a_3=k, a_2=a_4=-k(k \neq 0)$ 且已知 $\beta_1=(-1,1,1)^T, \beta_2=(1,1,-1)^T$ 为方程组的两个解，写出此方程组的通解．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $n$ 阶矩阵 A 满足 $A^3=0$ ，证明 I－A 可逆，并求其逆矩阵。
当 $a$ 为何值时，线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x_1+x_2+x_3=1 \\ x_1+a x_2+x_3=a \\ x_1+x_2+a x_3=a^2\end{array}\right.$ ，有无解？有唯一解？有无穷多解？当方程组有唯一解时求出其解，且在有无穷多解时用其导出组的基础解系表示出方程组的全部解．