单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
$x o y$ 面上的曲线 $x^2-y^2=1$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转曲面的方程为
$\text{A.}$ $x^2+y^2+z^2=1$ ；
$\text{B.}$ $x^2-y^2+z^2=1$ ；
$\text{C.}$ $x^2+y^2-z^2=1$ ；
$\text{D.}$ $x^2-y^2-z^2=1$ ．
．曲线 $x=t, y=t^2, z=t^3$ 在点 $(-1,1,-1)$ 处的法平面方程是
$\text{A.}$ $x-2 y-3 z+6=0$ ；
$\text{B.}$ $x-2 y+3 z+4=0$ ；
$\text{C.}$ $x-2 y+3 z+6=0$ ；
$\text{D.}$ $x-2 y-3 z+4=0$ ．
设 $\Omega$ 是由球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 及三个坐标面围成的在第一卦限的那部分空间闭区域，则将三重积分 $\iiint_{\Omega} f(x, y, z) d V$ 化为三次积分，正确的结果是
$\text{A.}$ $\int_0^1 d x \int_0^{\sqrt{1-x^2}} d y \int_{-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}} f(x, y, z) d z ;$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d x \int_0^{\sqrt{1-y^2}} d y \int_{-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}} f(x, y, z) d z$ ；
$\text{C.}$ $\int_0^1 d x \int_0^{\sqrt{1-y^2}} d y \int_0^{\sqrt{1-x^2-y^2}} f(x, y, z) d z ;$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_0^{\sqrt{1-x^2}} d y \int_0^{\sqrt{1-x^2-y^2}} f(x, y, z) d z$.
已知对坐标的曲线积分 $\int_L\left(2 x \sin y+m x^2 y\right) d x+\left(x^3+x^2 \cos y+y^2\right) d y$在全平面内与路径无关，$L$ 为平面上任一曲线，则常数 $m=$
$\text{A.}$ 1 ；
$\text{B.}$ 2 ；
$\text{C.}$ 3 ；
$\text{D.}$ 4 ．
如果幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x=2$ 处收敛，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 当$|x| < 2$ 时级数绝对收敛；
$\text{B.}$ 当 $|x| < 2$ 时级数条件收敛；
$\text{C.}$ 当 $|x|>2$ 时级数发散；
$\text{D.}$ 以上结论都不对．
二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=\left(x^2-x+1\right) e^{2 x}$的特解形式可设为 $y^*=$
$\text{A.}$ $a x^2+b x+c$ ；
$\text{B.}$ $\left(a x^2+b x+c\right) e^{2 x}$ ；
$\text{C.}$ $\left(a x^3+b x^2+c x\right) e^{2 x}$ ；
$\text{D.}$ $\left(a x^4+b x^3+c x^2\right) e^{2 x}$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设平面 $\pi_1: 2 x+3 \lambda y+3 z=2$ 与 $\pi_2: 4 x-3 y+6 z=1$ 平行，则 $\lambda=$
设 $z=x^y$ ，则二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
设区域 $D: x^2+y^2 \leq 1$ ，则二重积分 $\iint_D \sqrt{1-x^2-y^2} d x d y=$
设 L 为 $y=3 x$ 上从点 $(0,0)$ 到点 $(1,3)$ 的一段直线，则对弧长的曲线积分 $\int_L\left(x^2+y^2\right) d s=$
当且仅当 $q$ 的值满足条件 $\_\_\_\_$时，等比级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{q^n}$ 收敛
微分方程 $\frac{d y}{d x}=e^{x-y}$ 的通解是
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $z+x=e^{z-y}$ 所确定，求偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 及全微分 $d z$
设二元函数 $z(x, y)=e^{a x^2+b y^2+4 x-y+1}$ 在点 $(1,1)$ 处取得极值，求 $a 、 b$ 的值
交换二次积分 $I=\int_1^2 d x \int_{\frac{1}{x}}^1 y e^{x y} d y$ 的积分次序，并求出 $I$ 的值
计算对坐标的曲线积分 $\oint_L\left(2 x-x y^2\right) d x+\left(y^2-2 x y\right) d y$ ，其中积分路径 $L$ 是以 $(0,0) 、(1,1) 、(0,1) 、(1,0)$ 为顶点的正方形区域的取正向的整个边界
将函数 $f(x)=\frac{1}{(x+1)(x+3)}$ 展开成关于 $(x-2)$ 的幂级数，并指出其收敛区间
设有幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{3^n x^n}{n+1}$ ，
（1）求其收敛半径；
（2）指出其收敛区间；
（3）讨论幂级数在收敛区间端点处的敛散性，并确定其收敛域。
设有二阶常系数非齐次线性微分 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=4 e^x$ ．求
（1）求对应的常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0$ 的通解；
（2）求 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=4 e^x$ 的一个特解；
（3）求 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=4 e^x$ 的通解．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明曲面 $(z-2 x)^2=(z-3 y)^3$ 上任一点处的法线都平行于平面 $3 x+2 y+6 z-1=0$