单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
方程 $x=\sin x+2$ 有实根的区间是 ．
$\text{A.}$ $\left(\frac{\pi}{2}, 3\right)$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{\pi}{6}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$
设 $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-3 x+2}$ ，则 $x=1$ 是 $f(x)$ 的 $A$
$\text{A.}$ 可去间断点
$\text{B.}$ 跳跃间断点
$\text{C.}$ 第二类间断点
$\text{D.}$ 连续点
若函数 $f(x)$ 连续，$\varphi(x)=\int_{\sin x}^1 f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x}=$ 。
$\text{A.}$ $f(\sin x)$
$\text{B.}$ $f(\sin x) \cos x$
$\text{C.}$ $f(-\cos x)$
$\text{D.}$ $-f(\sin x) \cos x$
估计 $I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5 \pi}{4}}\left(1+\sin ^2 x\right) \mathrm{dx}$ 的值为 ．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2} \leq I \leq \pi$
$\text{B.}$ $\pi \leq I \leq 2 \pi$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2} \leq I \leq 2 \pi$
$\text{D.}$ $\pi \leq I \leq \frac{3 \pi}{2}$
下列广义积分收敛的是 ．
$\text{A.}$ $\quad \int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x^3}} d x$
$\text{C.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+m & , x < 1 \\ x^2+3 & , x \geq 1\end{array}\right.$ ，若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续，则 $m=$
若 $\lim _{x \rightarrow 0}(1-2 x)^{\frac{k}{x}}=e^{-2}$ ，则 $k=$
曲线 $y=e^x+x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为
$\int_{-1}^1 \frac{x \cos x}{x^2+\cos x+2} d x=$
方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=0$ 的通解为
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^2 \sin x}$
计算不定积分 $\int \frac{1}{(x+2) \sqrt{x+1}} d x$
设 $y=\frac{1}{2 x+3}$ 求 $y^{(n)}(0)$
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 点连续，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=-1$ ，
（1）求 $f(0)$ ；
（2）讨论 $f(x)$ 在 $x=0$ 是否可导？
已知曲线的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+t^2\right) \\ y=t-\arctan t\end{array}\right.$ ，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{dc}^2}$ ．
已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $x \ln x$ ，求 $\int_1^e x f(x) d x$ ．
求微分方程 $y^{\prime}+\frac{y}{x}=\frac{\sin x}{x},\left.y\right|_{x=\pi}=1$ 的特解．
已知点 $(1,-1)$ 是曲线 $y=x^3+a x^2+b x+c$ 的拐点，且该曲线在 $x=0$ 处有极值为 1 ．试确定 $a, b, c$ 的值．
求由 $y=x^3, x=2, y=0$ 所围平面图形的面积，并求该平面图形绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积．
证明题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明存在 $\xi \in(a b)$ 使 $\left(b^2-a^2\right) f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(b)-f(a)]$.
证明： $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} d x=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} d x$ ．
证明：当 $x>0$ 时， $1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)>\sqrt{1+x^2}$ ．