单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $y_1(x) 、 y_2(x) 、 y_3(x)$ 是非齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x)$ 的三个线性无关的解，$C_1 、 C_2$ 是任意常数，则该非齐次线性方程的通解可表示为（ ）。
$\text{A.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+C_3$
$\text{B.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-\left(C_1+C_2\right) y_3$
$\text{C.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-\left(1-C_1-C_2\right) y_3$
$\text{D.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+\left(1-C_1-C_2\right) y_3$
已知二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x^2+y^2, & x y=0 \\ 1, & x y \neq 0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处（ ）．
$\text{A.}$ 连续，一阶偏导数不存在
$\text{B.}$ 不连续，一阶偏导数不存在
$\text{C.}$ 不连续，一阶偏导数存在
$\text{D.}$ 连续，一阶偏导数存在
曲线 $L:\left\{\begin{array}{c}x=t^2 \\ y=8 / \sqrt{t} \\ z=4 \sqrt{t}\end{array}\right.$ 在点$(16,4,8)$ 处的法平面方程是
$\text{A.}$ $8 x-y-2 z=108$
$\text{B.}$ $16 x-y+2 z=268$
$\text{C.}$ $8 x-y-2 z=140$
$\text{D.}$ $16 x-y+2 z=244$
常数 $a>0$ ，则第一型曲面积分 $\iint_{x^2+y^2+z^2=a^2} x^2 d S$ 的值为 ．
$\text{A.}$ $\frac{4}{3} \pi a^4$
$\text{B.}$ $\frac{4}{3} \pi a^2$
$\text{C.}$ $4 \pi a^4$
$\text{D.}$ $4 \pi a^2$
下列级数中，绝对收敛的是（ ）．
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
过点 $(1,2,3)$ 且与直线 $\frac{x-3}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}$ 平行的直线方程为
设 $f(x, y)=\frac{x y}{\sqrt{x y+1}-1}$ ，则 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=$
累次积分 $\int_0^2 d x \int_{x^2}^{2 x} f(x, y) d y$ 交换积分次序后为
已知曲线 $L: x^2+y^2=a^2$（常数 $a>0$ ），则 $\oint_L x^2 d s=$
已知 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数，在 $(-\pi, \pi]$ 上 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}-\pi, & -\pi < x \leq 0 \\ x, & 0 < x \leq \pi\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 的傅立叶级数在 $x=0$ 处收敛于
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知直线 $L_1: \frac{x-3}{3}=\frac{y}{0}=\frac{z-1}{-4}$ ，平面 $\Sigma: x+2 y+2 z=5$ ，求直线 $L_1$ 与平面 $\Sigma$ 的夹角．
设 $z=\arctan \frac{x}{y}$ ，求 $d z, \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$
求微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=e^{-2 x}$ 的通解．
计算二重积分 $\iint_D e^{-\frac{y^2}{2}} d x d y$ ，其中 $D$ 是由直线 $x=0 、 y=1$ 及 $y=x$ 所围成的区域．
计算三重积分 $\iiint_{x^2+y^2+z^2 \leq R^2}\left(x^2+y^2+x z\right) d x d y d z$ ，其中常数 $R>0$ ．
计算第二型曲线积分 $I=\int_C\left(e^x \sin y-2 y\right) d x+\left(e^x \cos y-2\right) d y$ ，其中 $C$ 为上半圆周 $x^2+y^2=a x$ ，方向为从 $A(a, 0)$ 到 $O(0,0)$ ，常数 $a>0$ ．
设抛物面 $\Sigma$ ：$z=1-x^2-y^2(z \geq 0)$ ，方向取其上侧，计算 $\iint_{\Sigma} 2 x^3 d y d z+2 y^3 d z d x+2 d x d y$ ．
将 $f(x)=\frac{1}{1+2 x}$ 展开为 $(x+2)$ 的幂级数，并求该幂级数的收敛域．
在椭圆 $x^2+4 y^2=4$ 上求一点，使该点到直线 $2 x+3 y-12=0$ 的距离最短．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调减小，且 $a_n \geq 0(n=1,2, \cdots)$ ，又级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$ 发散．证明：级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+a_n}\right)^n$ 收敛．