已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\omega x-\frac{\pi}{6}\right)-2 \cos ^2 \frac{\omega x}{2}(\omega>0)$ 图象与直线 $y=-1$的两个相邻交点间的距离为 $\frac{\pi}{2}$ ．
（1）求 $\omega$ 的值；
（2）若 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，求函数 $f(x)$ 的值域．
已知函数 $f(x)=\frac{\ln x-1}{x}$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在 $(e, f(e))$ 处的切线方程；
（2）设 $g(x)=a x-f(x), g^{\prime}(x)$ 为 $g(x)$ 的导函数，讨论 $g^{\prime}(x)$ 的零点个数；
（3）若存在 $a>0$ ，使得不等式 $a x^2-(a+b) x-\ln x+1 \geqslant 0$ 对任意 $x \in(0,+\infty)$成立，求 $b$ 的取值范围．
已知有限实数集 $S$ ，定义集合 $S^*=\{y-x \mid x < y, x, y \in S\}$ ．
（1）若集合 $S=\{1,2,4,8\}$ ，求集合 $S^*$ ；
（2）是否存在有限实数集 $S$ ，使得 $S^*=S$ ，说明理由；
（3）若集合 $S$ 中有 $n$ 个元素，求集合 $S^*$ 中元素个数的最大