已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\omega x-\frac{\pi}{6}\right)-2 \cos ^2 \frac{\omega x}{2}(\omega>0)$ 图象与直线 $y=-1$的两个相邻交点间的距离为 $\frac{\pi}{2}$ ．
（1）求 $\omega$ 的值；
（2）若 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，求函数 $f(x)$ 的值域．