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上海交通大学《高等数学A》第一学期期中考试试题与解答

发布日期 2025/10/1 17:22:33      查看 44      加入组卷      查看作者     
单选题
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调，下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} e^{a_n}$ 存在； $\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+a_n^2}$ 存在； $\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \tan a_n$ 存在； $\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1-a_n^2}$ 存在。
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，下列无穷小量中，与 $x$ 同阶的无穷小是
$\text{A.}$ $\sqrt{1+x}-1$ ； $\text{B.}$ $\ln (1+x)-x$ ； $\text{C.}$ $\cos (\sin x)-1$ ； $\text{D.}$ $x^x-1$ 。
设 $f(x)=x e^{-x}$ ，则 $f^{(n)}(x)=$
$\text{A.}$ $(-1)^n(1+n) x e^{-x}$ ； $\text{B.}$ $(-1)^n(1-n) x e^{-x}$ ； $\text{C.}$ $(-1)^n(x+n) e^{-x}$ ； $\text{D.}$ $(-1)^n(x-n) e^{-x}$ 。
函数 $f(x)=\left|x^2+3 x-1\right|$ 的拐点数为
$\text{A.}$ $\mathbf{0}$ 个； $\text{B.}$ $\mathbf{1}$ 个； $\text{C.}$ $\mathbf{2}$ 个； $\text{D.}$ $\mathbf{3}$ 个。
设 $y=f(x)$ 在 $U\left(x_0, \delta\right)$ 内连续，在 $\stackrel{o}{U}\left(x_0, \delta\right)$ 内可导，以下是三个断语：
（1）若 $f\left(x_0\right) \geq 0$ ，则存在 $\delta_1>0$ ，使得 $\forall x \in U\left(x_0, \delta_1\right)$ ，都有 $f(x) \geq 0$ ；
（2）若 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=x_0$ 连续；
（3）$f^{\prime}(x)$ 在 $\stackrel{o}{U}\left(x_0, \delta\right)$ 内无第一类间断点。
上述三个断语中，正确的个数是
$\text{A.}$ 0 个； $\text{B.}$ 1 个； $\text{C.}$ 2 个； $\text{D.}$ 3 个。
填空题
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 通 项 $a_n=\frac{1}{n^2+4 n+3}, S_n$ 为 $\left\{a_n\right\}$ 的 前 $n$ 项 部 分 和 $(n=1,2,3, \cdots)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n=$
函数 $y=\frac{x^3+3 x^2-x-3}{x^2+x-6}$ 的第一类间断点是
已知 $y=f\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right), f^{\prime}(x)=\arctan \left(1-x^2\right)$ ，则 $\left.d y\right|_{x=0}=$
曲线 $\left\{\begin{array}{c}x=e^t \sin 2 t \\ y=e^t \cos t\end{array}\right.$ 在点 $t=0$ 处的切线方程为
函数 $f(x)=x^3(x-4)$ 单调减少且上凸的区间是
解答题
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x+\ln (1-x)-1}{x-\arctan x}$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\cos x}{\cos 2 x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$ 。
设 $y=y(x)$ 由方程 $e^y \sin x-y+1=0$ 确定，求 $y^{\prime \prime}(0)$ 。
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{3 x}, & x>0 \\ x+1, & x \leq 0\end{array}\right.$ ，求 $f^{\prime \prime}(x)$ 。
已知 $y=f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 可导，且 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq L < 1$（ $L$ 是常数），$x_0$ 满足 $f\left(x_0\right)=x_0$ 。 对任意取定的 $x_1$ ，定义 $x_{n+1}=f\left(x_n\right), n=1,2, \cdots$ 。
（1）证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x_0$ ；
（2）当 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2} \ln \left(1+\frac{x^2}{2}\right)$ 时，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 。
分析函数 $y=\frac{x^2}{1+2 x}$ 的性态，并作出其简图。

$$
\left(y^{\prime}=\frac{2 x^2+2 x}{(1+2 x)^2}, y^{\prime \prime}=\frac{2}{(1+2 x)^3}\right)
$$
已知非负函数 $y=f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，且 $f(2 x) \leq f(x)+1$ 。证明：
（1）存在常数 $M$ ，使得当 $x>1$ 时， $0 \leq f(x) \leq M+\log _2 x$ ；
（2）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $A=0$ 。
证明题
用极限定义证明： $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{x-1}=1$ 。