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国防科技大学朱健民课件讲义第5章-留数及其应用

发布日期 2025/8/26 16:05:54      查看 0      加入组卷      查看作者     
单选题
函数 $f(z)=\frac{z^4}{(1+z)^2}$ 在 $z=-1$ 处的留数为（ ）．
$\text{A.}$ 2 $\text{B.}$ 4 $\text{C.}$ -2 $\text{D.}$ -4
设 $f(z)=\frac{ e ^z-a}{(z-b)(z-1)}$ ，其中 $z=1$ 和 $z=0$ 分别为 $f(z)$ 的可去奇点和极点，则积分 $\oint_{|z|=2} f(z) d z$ 的值为（ ）。
$\text{A.}$ $2 \pi i(e-1)$ $\text{B.}$ $2 \pi i(1-e)$ $\text{C.}$ $2 \pi e i$ $\text{D.}$ $-2 \pi e i$
设 $C:|z|=2$ 为逆时针方向，则积分 $\frac{1}{2 \pi i} \oint_C \sin \frac{z}{z-1} d z$ 的值为（ ）．
$\text{A.}$ $\cos 1$ $\text{B.}$ $\sin 1$ $\text{C.}$ $\cos 1-\sin 1$ $\text{D.}$ $\cos 1+\sin 1$
实积分 $\int_0^\pi \frac{ d \theta}{5-3 \cos \theta}$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{4}$ $\text{B.}$ $\frac{\pi}{2}$ $\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{\pi}{5}$
设 $a, b$ 为常数且 $a>b>0$ ，则实积分 $\int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{(a+b \cos \theta)^2}$ 可转化为复积分 ．
$\text{A.}$ $\frac{4}{i} \oint_{|z|=1} \frac{z}{\left(b z^2+2 a z+b\right)^2} d z$ $\text{B.}$ $4 i \oint_{|z|=1} \frac{z}{\left(b z^2+2 a z+b\right)^2} d z$ $\text{C.}$ $\frac{1}{4 i} \oint_{|z|=1} \frac{z}{\left(b z^2+2 a z+b\right)^2} d z$ $\text{D.}$ $\frac{i}{4} \oint_{|z|=1} \frac{z}{\left(b z^2+2 a z+b\right)^2} d z$
设常数 $a>0$ ，则积分 $\int_0^{\infty} \frac{\cos a x}{1+x^2} d x$ 的值为 ．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2 e^a}$ $\text{B.}$ $\frac{\pi}{e^a}$ $\text{C.}$ $\frac{\pi e^a}{2}$ $\text{D.}$ $\pi e^a$
实积分 $\int_0^{\infty} \frac{ d x}{\left(1+x^2\right)^2}$ 的值为（）．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{4}$ $\text{B.}$ $\frac{\pi}{2}$ $\text{C.}$ $\pi$ $\text{D.}$ $2 \pi$
设 $C:|z|=2$ 为逆时针方向，则积分 $\oint_C \frac{z}{1-z} e^{\frac{1}{z}} d z$ 的值为（ ）．
$\text{A.}$ $-4 \pi i$ $\text{B.}$ $-2 \pi i$ $\text{C.}$ $-2 \pi e i$ $\text{D.}$ 0
函数 $f(z)=z^7+5 z^4-2 z+1$ 在 $|z| < 1$ 内的零点个数（计算重数）是（）．
$\text{A.}$ 0 $\text{B.}$ 1 $\text{C.}$ 3 $\text{D.}$ 4
方程 $z^4-5 z+1=0$ 在圆环 $1 < |z| < 2$ 内根的个数为（）．
$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ 2 $\text{C.}$ 3 $\text{D.}$ 4
填空题
函数 $f(z)=\frac{1}{z \sin z}$ 在 $z=0$ 处的留数为 $\qquad$ ．
设 $f(z)=\frac{(1+z)^2}{z^4-1}$ ，则 $\operatorname{Res}(f, 1)$ 的值为 $\qquad$ ．
设 $f(z)=\frac{z \sin (\pi z)}{\left(z^2+1\right)^2}, C:|z|=\frac{3}{2}$ 为逆时针方向，则 $\frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f^{\prime}(z)}{f(z)} d z$ 的值为 $\qquad$ ．
设 $f(z)=\frac{z^7}{\left(z^2-1\right)^3\left(z^2+2\right)}$ ，则 $f(z)$ 在有限复平面上所有孤立奇点处留数的和为 $\qquad$ ．
方程 $z^4-8 z+10=0$ 在单位圆外 $|z|>1$ 的根的个数为 $\qquad$ ．
设 $f(z)=\left(z^2+1\right)^2, C:|z|=\frac{1}{2}$ ，则当 $z$ 按逆时针方向沿 $C$ 绕行一周时，$f(z)$ 幅角的改变量为 $\qquad$ ．
设 $f(z)=\frac{z^2+1}{z^5}, C:|z|=2$ 为逆时针方向，则 $\frac{1}{2 \pi} \Delta_C \arg f(z)$ 的值为 $\qquad$ ．
判断题
若函数 $f(z)$ 在 $0 < \left|z-z_0\right| < R$ 内解析，则积分 $\oint_{\left|z-z_0\right|=\rho} f(z) d z$ 对于 $\rho \in(0, R)$ 为常数．
$\text{A.}$ 正确 $\text{B.}$ 错误 $\text{C.}$ $\text{D.}$
设 $z_0$ 为函数 $f(z)$ 的孤立奇点，则 $z_0$ 为函数 $f(z)$ 的可去奇点的充要条件是 $\operatorname{Res}\left(f, z_0\right)=0$.
$\text{A.}$ 正确 $\text{B.}$ 错误 $\text{C.}$ $\text{D.}$
函数 $f(z)=\frac{\left(z^2+4\right)^3}{(z-1)^2\left(z^3+1\right)^2}$ 在有限复平面上所有孤立奇点处留数的和为零．
$\text{A.}$ 正确 $\text{B.}$ 错误 $\text{C.}$ $\text{D.}$
实积分 $\int_0^\pi \frac{ d \theta}{5-3 \sin \theta}$ 可以用留数的方法计算．
$\text{A.}$ 正确 $\text{B.}$ 错误 $\text{C.}$ $\text{D.}$
用留数方法计算积分实积分 $\int_0^{\infty} \frac{\ln x}{(1+x)^3} d x$ 时，所构造的辅助函数为 $f(z)=\frac{\ln z}{(1+z)^3}$.
$\text{A.}$ 正确 $\text{B.}$ 错误 $\text{C.}$ $\text{D.}$
方程 $z^4+2 z^3-2 z+1=0$ 的所有根均在圆 $|z|=3$ 内．
$\text{A.}$ 正确 $\text{B.}$ 错误 $\text{C.}$ $\text{D.}$

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