解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求映射 $\omega=f(z)=z^2+4 z$ 在点 $z_0=-1+ i$ 处的伸缩率和旋转角，并说明映射 $\omega=f(z)$ 将 $z$ 平面的哪一部分放大？哪一部分缩小？
研究函数 $\omega=(1+ i ) z+2 i$ 所构成的映射．
求使点 $-1, i, 1+i$ 映射为下列点的分式线性映射：
（1） $0,2 i , 1- i$ ；
（2） $i , \infty, 1$ ．
求把点 $z_1=-1, z_2=0, z_3=1$ 分别映射成点 $\omega_1=-1, \omega_2=- i , \omega_3=1$ 的分式线性映射。并研究这一映射将 $z$ 平面的上半平面映射成什么？将直线 $x=$ 常数，$y=$ 常数 （ $>0$ ）映射成什么？
求出将圆 $|z-4 i | < 2$ 映射成半平面 $v>u$ 的保角映射，并将圆心映射到 -4 ，而圆周上的点 2 i 映射到 $\omega=0$ ．
求线性映射，使 $|z|=1$ 映射成 $|\omega|=1$ ，且使 $z=1,1+ i$ 分别映射成 $\omega=1$ ， $\infty$ ．
求线性映射 $\omega=f(z), \omega=f(z)$ 把 $|z|=1$ 映射成 $\operatorname{Im} \omega=0$ ，使得 $f(0)=$ $b+ i$（ $b$ 为实数），$f^{\prime}(0)>0$ ．
试将单位圆的外部区域 $|z|>1$ 映射为全平面去掉 $-1 \leqslant \operatorname{Re} \omega \leqslant 1, \operatorname{Im} \omega=0$的区域。
将扩充 $z$ 平面割去 $1+ i$ 到 $2+2 i$ 的线段后剩下的区域保角映射到上半平面．
试将半带形域 $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}, y>0$ 映射为上半平面，并使 $f\left( \pm \frac{\pi}{2}\right)= \pm 1$ ， $f(0)=0$.