单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
下列级数中条件收敛的级数为（ ）
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \sin i n}{3^n}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ e ^{ i n}}{n}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n^2}\right) e ^{ i \frac{\pi}{n}}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1+ i )^n}{2^{\frac{n}{2}} \operatorname{cosin}}$
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{n^n} z^n$ 的收敛半径 $R=(\quad)$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{ e }$
$\text{D.}$ e
若 $\sum_{n=0}^{\infty} c_n(z- i )^n$ 在 $z=3 i$ 发散，则它必在（ ）
$\text{A.}$ $z=-1$ 收敛
$\text{B.}$ $z=-2$ 发散
$\text{C.}$ $z=- i$ 收敛
$\text{D.}$ 以上全不正确
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
讨论$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ i ^n}{n}$ 敛散性
讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(6+5 i )^n}{8^n}$ 敛散性
讨论$\sum_{n=1}^{\infty} e ^{ in }$ 的敛散性
讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos i n}{2^n}$ 的敛散性
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设复数 $z_1, z_2, \cdots, z_n, \cdots$ 全部位于半平面 $\operatorname{Re} z \geqslant 0$ 上，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} z_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} z_n^2$ 都收敛，试证级数 $\sum\left|z_n\right|^2$ 也收敛。
求 $\sum_{n=0}^{\infty} \cos ( i n) z^n$ 幂级数的收敛半径
求 $\sum_{n=0}^{\infty}(1+ i )^n z^n$ 幂级数的收敛半径
求 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+a^n\right) z^n$ 幂级数的收敛半径
求 $\sum_{n=1}^{\infty} z^{n^2}$ 幂级数的收敛半径
证明 $f(z)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^2}$ 在 $|z| < 1$ 内解析，并求 $f^{\prime}(z)$ ．
设 $C$ 为以 $z=0$ 为心，$\frac{1}{2}$ 为半径的圆周，则 $\int_C\left(\sum_{n=-1}^{\infty} z^n\right) d z=$ $\qquad$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ 收敛，而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|c_n\right|$ 发散，证明幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n z^n$ 的收敛半径为 1