单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设随机变量 $X_1, \cdots, X_n, \cdots$ 是独立同分布的随机变量，其分布函数为 $F(x)=A+$ $\frac{1}{\pi} \arctan \frac{x}{B}$ ，其中 $B \neq 0$ ，则辛钦大数定律对此序列（）。
$\text{A.}$ 适用
$\text{B.}$ 当常数 $A 、 B$ 取适当数值时适用
$\text{C.}$ 无法判断
$\text{D.}$ 不适用
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立，$S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n$ ，则根据列维一林德伯格（Levy－Lindberg）中心极限定理，当 $n$ 充分大时，$S_n$ 近似服从正态分布，只要 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ （ ）．
$\text{A.}$ 有相同的数学期望
$\text{B.}$ 有相同的方差
$\text{C.}$ 服从同一指数分布
$\text{D.}$ 服从同一离散型分布
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 相互独立，且 $X_i$ 都服从参数为 $\frac{1}{2}$ 的指数分布，则当 $n$充分大时，随机变量 $Z_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 的概率分布近似服从（ ）。
$\text{A.}$ $N(2,4)$
$\text{B.}$ $N\left(2, \frac{4}{n}\right)$
$\text{C.}$ $N\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4 n}\right)$
$\text{D.}$ $N(2 n, 4 n)$
假设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 独立同分布，且 $E X_n=0$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\sum_{i=1}^n X_i < n\right\}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设随机变量 $X$ 的数学期望 $E X=\mu$ ，方差 $D X=\sigma^2$ ，则由切比雪夫不等式，有 $P\{|X-\mu| \geqslant 3 \sigma\} \leqslant$
设总体 $X$ 服从参数为 2 的指数分布，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体的简单随机样本，则当 $n \rightarrow \infty$ 时，$Y_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 依概率收敛于
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是 7300 ，均方差是 700 ，利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在 $5200 \sim 9400$ 之间的概率 $p$ 。
一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克，若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 $0.977 .(\Phi(2)=0.977$ ，其中的 $\Phi(x)$ 是标准正态分布函数）。
某单位设置一电话总机，共有 200 个电话分机，设每个电话分机有 $5 \%$ 的时间要使用外线通话，假设每个分机是否使用外线通话是相互独立的。问总机要多少外线才能以 $90 \%$ 的概率保证每个分机要使用外线时可供使用．
现有一大批种子，其中良种占 $\frac{1}{6}$ ，现从中任取 6000 粒．试分别（1）用切比雪夫不等式估计；（2）用中心极限定理计算：这 6000 粒中良种所占的比例与 $\frac{1}{6}$ 之差的绝对值不超过 0.01的概率．
某种小汽车氧化氮的排放量的数学期望为 $0.9 g / km$ ，标准差为 $1.9 g / km$ ，某公司有这种汽车 100 辆，以 $\bar{X}$ 表示这些车辆的氧化氮排放量的算数平均，问当 $L$ 何值时， $\bar{X}>L$ 的概率不超过 0.01 。
随机地选取两组学生，每组 80 人，分别在两个实验室里测量某种化合物的 pH 值．各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为 5 ，方差为 0.3 ，以 $\bar{X}, \bar{Y}$ 分别表示第一组和第二组所得结果的算数平均：
（1）求 $P\{4.9 < \bar{X} < 5.1\}$ ；
（2）求 $P\{-0.1 < \bar{X}-\bar{Y} < 0.1\}$ ．
某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种血液病的治愈率为 0.8 ，医院任意抽查 100 个服用此药品的病人，若其中多于 75 人治愈，就接受此断言，否则就拒绝此断言。
（1）若实际上此药品对该病治愈率是 0.8 ，求接受此断言的概率；
（2）若实际上此药品对该病治愈率是 0.7 ，求接受此断言的概率。