键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知六边形 $A B C H I J$ 与六边形 $C D E F G H$ 为全等的正六边形，且 $A B=4$ ，点 $M$ 为正六边形 $C D E F G H$ 内的一点（包含边界），则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A M}$ 的取值范围是

柯西不等式（Cauchy－SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．现给出一个二维柯西不等式：$\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right) \geqslant(a c+b d)^2$ ，当且仅当 $a d=b c$ 时等号成立．已知 $a>0, b>0$ ，直线 $y=x-2 a$ 与曲线 $y=\ln (x+b)$ 相切，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$的最小值为

记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 a \cos A+b \cos C=c \cos (A+C)$ ．
（1）求角 $A$ 的大小；
（2）若 $a=\sqrt{21}, B C$ 边上的高为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，求 $\triangle A B C$ 的周长．

如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$\triangle P A D$ 是边长为 2 的等边三角形，$C A=C P=2 \sqrt{2}, B C=4, A D / / B C$ ，点 $E$ 是棱 $P D$ 上的一点，且满足 $D E=2 E P, A E \perp D C$ ．
（1）求证：平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D$ ；
（2）求平面 $A B E$ 与平面 $P B C$ 的夹角的余弦值．

已知函数 $f(x)=(a x+1) e ^x-1(a \in R )$ ．
（1）若 $a=-2$ ，求 $f(x)$ 的极值；
（2）若 $f(x) \leqslant(a+1) x$ 对任意的 $x \in[0,+\infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

某大学排球社团为了解性别因索是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男，女生各 200 名，得到如下数据：

（1）依据小概率值 $\alpha=0.001$ 的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？
（2）在某次社团活动中，甲，乙，丙这三人相互做传球训练，第 1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．记 $n$ 次传球后球在乙手中的概率为 $p_n, n=1,2,3, \cdots$ ．
（i）求 $p_n$ ；
（ii）若随机变量 $X_i$ 服从两点分布，且 $P\left(X_i=1\right)=1-P\left(X_i=0\right)=q_i, i=1,2, \cdots, n$ ，则 $E\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)$ $=\sum_{i=1}^n q_i$ ．记前 $n$ 次（即从第 1 次到第 $n$ 次传球）中球在乙手中的次数为随机变量 $Y$ ，求 $Y$ 的数学期望。
附：$\chi^2=\frac{n(a d-b c)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，其中 $n=a+b+c+d$ ．

椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的＂特征三角形＂．记椭圆 $C_1$ 的＂特征三角形＂为 $\triangle_1$ ，椭圆 $C_2$ 的＂特征三角形＂为 $\triangle_2$ ，若 $\triangle_1 \backsim \triangle_2$ ，则称椭圆 $C_1$ 与 $C_2$ 相似，并将 $\triangle_1$ 与 $\triangle_2$ 的相似比称为椭圆 $C_1$ 与 $C_2$ 的相似比．已知椭圆 $C_1: \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ 与椭圆 $C_2: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 相似，且 $C_1$ 与 $C_2$ 的相似比为 2 ．
（1）求 $C_2$ 的方程；
（2）已知点 $F$ 是 $C_2$ 的右焦点，过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C_1$ 交于 $A, B$ 两点，直线 $l$ 与 $C_2$ 交于 $D, E$ 两点，其中点 $D$ 在 $x$ 轴上方．
（i）求证：$|A D|=|B E|$ ；
（ii）若过点 $F$ 与直线 $l$ 垂直的直线交 $C_2$ 于 $G, H$ 两点，其中点 $G$ 在 $x$ 轴上方，$M, N$ 分别为 $D E$ ， $G H$ 的中点，设 $P$ 为直线 $G D$ 与直线 $E H$ 的交点，求 $\triangle P M N$ 面积的最小值．