单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)=\lg \left(x^2-4 x-5\right)$ 在 $(a,+\infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $(2,+\infty)$
$\text{B.}$ $[2,+\infty)$
$\text{C.}$ $(5,+\infty)$
$\text{D.}$ $[5,+\infty)$
下列函数中是增函数的为（ ）
$\text{A.}$ $f(x)=-x$
$\text{B.}$ $f(x)=\left(\frac{2}{3}\right)^x$
$\text{C.}$ $f(x)=x^2$
$\text{D.}$ $f(x)=\sqrt[3]{x}$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}2^{-x}, x \leq 0 \\ 1, x>0\end{array}\right.$ ，则满足 $f(x+1) < f(2 x)$ 的 $x$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(-\infty,-1]$
$\text{B.}$ $(0,+\infty)$
$\text{C.}$ $(-1,0)$
$\text{D.}$ $(-\infty, 0)$
下列函数中，定义域是 $R$ 且为增函数的是
$\text{A.}$ $y=e^{-x}$
$\text{B.}$ $y=x^3$
$\text{C.}$ $y=\ln x$
$\text{D.}$ $y=|x|$
函数 $y=-\frac{2}{x+1}, x \in[0,2]$ 的值域是
$\text{A.}$ $\left[-2,-\frac{2}{3}\right]$
$\text{B.}$ $[-2,0)$
$\text{C.}$ $(0,1]$
$\text{D.}$ $[-2,-1]$
已知函数 $f(x)=3^x-\left(\frac{1}{3}\right)^x$ ，则 $f(x)$
$\text{A.}$ 是奇函数，且在 $R$ 上是增函数
$\text{B.}$ 是偶函数，且在 $R$ 上是增函数
$\text{C.}$ 是奇函数，且在 $R$ 上是减函数
$\text{D.}$ 是偶函数，且在 $R$ 上是减函数
函数 $y=\log _2^1\left(-x^2+x+6\right)$ 的单调递增区间为（ ）
$\text{A.}$ $\left(\frac{1}{2}, 3\right)$
$\text{B.}$ $\left(-2, \frac{1}{2}\right)$
$\text{C.}$ $(-2,3)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$
设 $a \in R$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2-2 a x+9, x \leq 1 \\ x^2+\frac{16}{x}-3 a, x>1\end{array}\right.$ ，若 $f(x)$ 的最小值为 $f(1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（ ）
$\text{A.}$ $[1,2]$
$\text{B.}$ $[1,3]$
$\text{C.}$ $[0,2]$
$\text{D.}$ $[2,3]$
下列函数中，在 $R$ 上为增函数的是
$\text{A.}$ $y=2^{-x}$
$\text{B.}$ $y=x^2$
$\text{C.}$ $y=\left\{\begin{array}{c}2^x, x \geq 0, \\ x, x < 0\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $y=\lg x$
多选题 （共 1 题 ），每题有多个选项正确
如果函数 $f(x)=\log _a|x-1|$ 在 $(0,1)$ 上是减函数，那么
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上递增且无最大值
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上递减且无最小值
$\text{C.}$ $f(x)$ 在定义域内是偶函数
$\text{D.}$ $f(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}(1-2 a) x+3 a, x < 1, \\ 2^{x^{-1}}, x \geqslant 1\end{array}\right.$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是
函数 $f(x)=\frac{x+5}{x-a+3}$ 在 $(1,+\infty)$ 上是减函数，则实数 $a$ 的范围是
已知函数 $f(x)=x+\frac{1}{x}(x>0)$ ，若 $\frac{f(x)}{(f(x))^2+a}$ 的最大值为 $\frac{2}{5}$ ，则正实数 $a=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
讨论并用定义证明函数 $f(x)=\frac{x}{x^2-1}$ 在区间 $(-1,1)$ 上的单调性．
判断函数 $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上的单调性并证明你的结论．
求$f(x)=\left|x^2-2 x+2\right|$ 的单调区间
求 $f(x)=\log _2\left(x^2-2 x-3\right)$ 单调区间
函数 $y=\log _5\left(x^2+2 x-3\right)$ 的单调递增区间是
设 $a>0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f(x)=\log _a(a x-1)$ 在区间 $[3,5]$ 上是单调增函数，求实数 $a$ 的取值范围．
设 $a>0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f(x)=\log _a\left(a x^2-x\right)$ 在区间［3，5］上是单调增函数，求实数 $a$ 的取值范围．