解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $D_R$ 是由 $x=R, y=0, y=\frac{2}{R} x-1$ 围成，求
$\lim _{R \rightarrow+\infty} \iint_{D_R} e^{-x} \arctan \frac{y}{x} d x d y$
设 $A=[0,1] \times[0,1]$ ，求
$$
I=\iint_A \frac{y d x d y}{\left(1+x^2+y^2\right)^{3 / 2}}
$$
作极坐标变换，将二重积分
$$
\iint_D f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) d x d y
$$
化为定积分，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant 1\}$ ．
求由曲线 $\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)^2=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$ 所围的面积．
求 $\iint_D\left(\sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}\right) d x d y$ ，其中 $D$ 由曲线 $\sqrt{\frac{x-c}{a}}+$ $\sqrt{\frac{y-c}{b}}=1$ 和 $x=c, y=c$ 所围成，并且 $a, b, c>0$ ．
求 $I=\iint_{\Omega}(x+y) d x d y$ ，其中 $\Omega$ 是由 $y^2=2 x, x+y=4$ ， $x+y=12$ 围成．
求积分
$$
I=\iiint_{\Omega} z^2 d x d y d z
$$
其中 $\Omega$ 为两个球 $x^2+y^2+z^2 \leqslant R^2, x^2+y^2+z^2 \leqslant 2 R z$ 的公共部分．
求 $I=\iiint_{\Omega}(x+y) d x d y d z$ ，其中 $\Omega$ 为由 $x=0, x=1, x^2+1=$ $\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}$ 所围成．
求四维空间中的单位球
$$
x^2+y^2+z^2+t^2 \leqslant a^2
$$
的体积 $V$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f$ 定义在 $A=[0,1] \times[0,1]$ 上，
$$
f(x, y)= \begin{cases}1, & \text { 当 } x \text { 是无理数, } \\ 2 y, & \text { 当 } x \text { 是有理数 }\end{cases}
$$
则（1）$f$ 在 $A$ 上不可积；
（2） $\int_0^1 d x \int_0^1 f(x, y) d y$ 存在， $\int_0^1 d y \int_0^1 f(x, y) d x$ 不存在．