解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}-3 & 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -2 & 4 \\ -2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & -4 & 2\end{array}\right)$ 的秩及其列向量的一个极大线性无关组．
证明题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求证： n 阶对称矩阵 $A$ 是零矩阵的充要条件是对任意的 n 维列向量 $\alpha$ ，有 $\alpha^{\prime} A \alpha=0$
求证：（1）如果 $A^k=0$ ．那么 $E-A$ 可逆，并且
$(E-A)^{-1}=E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}$
（2）应用以上结论求 $\left[\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & b & 0 \\ 0 & 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]^{-1}$
求证：和所有 n 阶矩阵乘法可交换的矩阵必是数量矩阵 $k I_n$ ．