解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
将复数 $\quad \frac{(\cos 5 \varphi+ i \sin 5 \varphi)^2}{(\cos 3 \varphi- i \sin 3 \varphi)^3}$化为指数形式和三角形式.
如果 $z= e ^{ it }$, 试证:
$$
\begin{gathered}
z^n+\frac{1}{z^n}=2 \cos n t \\
z^n-\frac{1}{z^n}=2 i \sin n t
\end{gathered}
$$
其中 $n$ 为正整数.
设 $x_n+ i y_n=(1- i \sqrt{3})^n\left(x_n, y_n\right.$ 为实数; $n$ 为正整数). 试证: $x_n y_{n-1}-x_{n-1} y_n=4 \sqrt[n-1]{3}$.
证明题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=x+ i y$, 试证:
$$
\frac{|x|+|y|}{\sqrt{2}} \leqslant|z| \leqslant|x|+|y|
$$
设 $z_1$ 及 $z_2$ 是两个复数,试证: $\left|z_1-z_2\right| \geqslant\left|\left|z_1\right|-\left|z_2\right|\right|$.
设 $|z|=1$, 试证: $\left|\frac{a z+b}{b z+a}\right|=1$.
试证
$$
\operatorname{Re} z>0 \Leftrightarrow\left|\frac{1-z}{1+z}\right| < 1,
$$
并能从几何意义上来读本题.