解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=\frac{1-\sqrt{3} i }{2}$, 求 $|z|$ 及 $\operatorname{Arg} z$.
设 $z_1=\frac{1+ i }{\sqrt{2}}, z_2=\sqrt{3}- i$, 试用指数形式表 $z_1 z_2$ 及 $\frac{z_1}{z_2}$.
求 $z=a \cos t+ i b \sin t$; 曲线:
求 $z=t+\frac{ i }{t}$; 曲线:
函数 $w=\frac{1}{z}$ 将 $z$ 平面上的下列曲线变成 $w$ 平面上的什么曲线 $(z=x+ i y, w$ $=u+ i v)$ ?
$x^2+y^2=4$;
函数 $w=\frac{1}{z}$ 将 $z$ 平面上的下列曲线变成 $w$ 平面上的什么曲线 $(z=x+ i y, w$ $=u+ i v)$ ?
$y=x$;
函数 $w=\frac{1}{z}$ 将 $z$ 平面上的下列曲线变成 $w$ 平面上的什么曲线 $(z=x+ i y, w$ $=u+ i v)$ ?
$x=1$;
函数 $w=\frac{1}{z}$ 将 $z$ 平面上的下列曲线变成 $w$ 平面上的什么曲线 $(z=x+ i y, w$ $=u+ i v)$ ?
$(x-1)^2+y^2=1$.
证明题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
明 $\left|z_1+z_2\right|^2+\left|z_1-z_2\right|^2=2\left(\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2\right)$, 并说明其几何意义.
证明: $z$ 平面上的直线方程可以写成 $a \bar{z}+\bar{a} z=c$ ( $a$ 是非零复常数, $c$ 是实常数 $)$.
证明: $z$ 平面上的圆周可以写成
$$
A z \bar{z}+\beta \bar{z}+\bar{\beta} z+C=0
$$
其中 $A 、 C$ 为实数, $A \neq 0, \beta$ 为复数, 且 $|\beta|^2>A C$.
试证:复平面上三点 $a+b i , 0, \frac{1}{-a+b i }$ 共直线.
命函数 $f(z)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{x^2+y^2}, \text { 若 } z \neq 0, \\ 0, \\ \text { 若 } z=0,\end{array}\right.$ 试证: $f(z)$ 在原点不连续.
试证: 函数 $f(z)=\bar{z}$ 在 $z$ 平面上处处连续.
试问函数 $f(z)=\frac{1}{1-z}$ 在单位圆 $|z| < 1$ 内是否连续?是否一致连续?