解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求解以下复方程:$z^3=-3 \bar{z}(z \neq 0)$;
已知解析函数 $f(z)$ 的实部 $u(x, y)=e^{\alpha y} \cos 3 x+3 x$, 其中 $\alpha>0$ 且 $f(0)=1$, 求常数 $\alpha$, 并求出解析函数 $f(z)$. (请用 $z$ 表示函数 $f(z)$ )
把 $f(z)=z^5 e^z$ 在 $z=0$ 展开成幂级数, 并指出收敛区域.
把 $g(z)=\frac{1}{(z-2)(z-4)^2}$ 在区域 $0 < |z-2| < 2$ 展开成洛朗级数.
计算积分 $\int_0^{\pi i}\left(2019 z^2-\cos z\right) d z$;
计算积分 $\int_{|z|=6}\left(2019 z^2-\cos z\right) d z$;
$\int_{|z|=\frac{5}{2}} \frac{z^2-8 z+5}{z^3(z+2)(z-3)^2} d z$;
计算积分$\int_{|z|=3} \frac{\cos \left(\frac{1}{z-2}\right)}{4-z} d z$;
$\int_{|z|=3} \frac{z+5}{1-\cos (z-2)} d z$;
$\int_{|z|=2} \frac{|d z|}{|z-i|^4}$.
求一下定积分 $\int_0^{2 \pi} \frac{\cos 2 \theta}{3-2 \cos \theta} d \theta$;
求定积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x^3 \sin 4 x}{\left(x^2+4\right)^2} d x$.
判断方程 $z^9=8 z^3+2 z^2+z+2$ 在 $1 < |z| < 5$ 的根的个数, 并说明理由.
利用拉普拉斯变换解微分方程
$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime \prime}+y=e^t \cos 2 t \\
y(0)=4, y^{\prime}(0)=0
\end{array}\right.
$$
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(z)$ 在 $|z| \leq 1$ 内解析, 函数 $g(z)$ 在 $|z| \geq 1$ 解析, 且存在常数 $M$, 使得在 $|z|>1$ 时, $|g(z)| < $ M. 证明以下算式成立:
$$
\frac{1}{2 \pi i} \int_{|\xi|=1}\left(\frac{f(\xi)}{\xi-a}-\frac{a g(\xi)}{\xi(\xi-a)}\right) d \xi= \begin{cases}f(a), & \text { 当 }|a| < 1, \\ g(a), & \text { 当 }|a|>1 .\end{cases}
$$