已知函数 $f(z)$ 在 $|z| \leq 1$ 内解析, 函数 $g(z)$ 在 $|z| \geq 1$ 解析, 且存在常数 $M$, 使得在 $|z|>1$ 时, $|g(z)| < $ M. 证明以下算式成立:

$$
\frac{1}{2 \pi i} \int_{|\xi|=1}\left(\frac{f(\xi)}{\xi-a}-\frac{a g(\xi)}{\xi(\xi-a)}\right) d \xi= \begin{cases}f(a), & \text { 当 }|a| < 1, \\ g(a), & \text { 当 }|a|>1 .\end{cases}
$$