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2008年上海交通大学第一学期高数A类期中考试题及答案解析

发布日期 2024/10/4 15:08:48      查看 2      加入组卷      查看作者     
单选题
设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义, $g(f(x))=x$, 则 ( ).
$\text{A.}$ $f(x)$ 存在反函数 $\text{B.}$ $g(x)$ 存在反函数 $\text{C.}$ $f(x)$ 和 $g(x)$ 都存在反函数 $\text{D.}$ $f(x)$ 和 $g(x)$ 都不存在反函数
设 $\left\{x_n\right\}=n^2\left(\sqrt{\cos \frac{1}{n}}-\cos \frac{1}{n}\right)$, 则
$\text{A.}$ $\left\{x_n\right\}$ 为无穷大量 $\text{B.}$ $\left\{x_n\right\}$ 为无穷小量 $\text{C.}$ $\left\{x_n\right\}$ 非无穷大量但无界 $\text{D.}$ $\left\{x_n\right\}$ 非无穷小量但有界
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1- e ^{\sqrt{x}}$ $\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$ $\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$ $\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
设函数 $f(x) \in C( R )$, 导函数 $f^{\prime}(x)$ 的图像如下所示, 则 $f(x)$ 在 $R$ 上有 ( ).
$\text{A.}$ 两个极小伹点, 一个极大值点 $\text{B.}$ 两个极小值点, 两个极大值点 $\text{C.}$ 三个极小值点, 一个极大值点 $\text{D.}$ 一个极小值点, 两个极大值点
设函数 $f(x)$ 在区问 $[a, b]$ 上有定义, 对于命题
(1) 若 $y=f(x)$ 在 $[a, b]$ 上无界, 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必存在间断点
(2) 若 $y=f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导, 则导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上必有界
下列选项正确的是
$\text{A.}$ 仅 (1) 正确 $\text{B.}$ 仅（2）正确 $\text{C.}$ 都正确 $\text{D.}$ 都错误
填空题
函数 $y=\sqrt{x-1}+\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}}$ 的定义域为
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=$
若函数 $y=\left\{\begin{array}{ll}(x+a)^2+b, & x < 0 \\ e^x, & x \geqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 可导, 则 $a=$ $\qquad$ , $b=$
若 $\left\{\begin{array}{c}x=e^t \\ y=\csc t\end{array}\right.$, 则 $\frac{ d y}{d x}$.
$y=(x-1)^2(x-2)^2(-3 \leqslant x \leqslant 4)$ 的值域是
解答题
用极限定义证明: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-1}{x^2+1}=-1$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x-1) e ^x+1}{x^2 \sqrt{1+x^2}}$.
$\lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x-\sin (\sin x))^{\frac{1}{x^3}}$.
设方程 $y=x \ln \left(x^2+y^2\right)$ 确定了一个二阶可导的隐函数 $y=y(x)$, 且 $y(1)=0$, 求 $\left.\frac{ d ^2 y}{d x^2}\right|_{x=1}$.
设 $f(x)=\left(x^2-3 x+2\right)^n \cos \frac{\pi x^2}{16}$, 求 $f^{(n)}(2)$.
分析函数 $y=\frac{x-3}{\sqrt{x^2+1}}$ 的性态, 并作 $y=f(x)$ 的简图,
设常数 $T>0$, 函数 $f(x)$ 在 $R$ 上连续, 且 $f(x) \cos x$ 和 $f(x) \sin x$ 都是以 $T$ 为周期的周期函数。
(1) 证明: $f(x)$ 是周期函数;
(2) 若 $f(x)$ 在 $R$ 上二阶可导, 且存在常数 $M>0$, 使得 $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M$ 对于 $\forall x \in R$ 成立, 证明: $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M T$.

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