本试卷总分150分,考试时间120分钟。
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷由kmath.cn自动生成。
学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的奇函数, 且当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时, $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin ^n x+\left(\frac{2 x}{\pi}\right)^n}$,则 $\int_0^\pi f(x) d x=$
设 $f(x)=a \int_0^{\sin x}\left(e^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t, x^b \ln (1+x)$ 是 $g(x)$ 的一个原函数, 若 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小, 则 $a+b=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-(1+x)^{\frac{e}{x}}}{x^2}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-(1+x)^{\frac{e}{x}}}{x^2}$
已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内可导, 且 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x^2}+\frac{f(x)}{x}\right)=2$, 试求 $f(0), f^{\prime}(0), \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{f(x)+\mathrm{e}^x}$
已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[a x \ln \left(1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\right)-\operatorname{arccot} \frac{1}{x}\right]$ 存在, 则 $a=$
当 $x \rightarrow \infty$ 时, $\left[\frac{e}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}\right]^x-\sqrt{e}$ 与 $c \cdot x^k$ 是等价无穷小, 求 $c$ 与 $k$ 的值分别为 ________ .
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{\sin x}$
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-\sqrt{x^2+x+1} \frac{\ln \left(\mathrm{e}^x+x\right)}{x}\right]$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left[\cos \left(x \mathrm{e}^x\right)-\ln (1-x)-x\right]^{\cot x^3} .$
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{x} \cdot \frac{a^x-1}{a-1}\right)^{\frac{1}{x}}(a>0, a \neq 1) .$
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln \left(\frac{\pi}{2}-\arctan \frac{1}{x \sqrt{1+x^2+x^4}}\right)}{\ln \left(\tan \left(x \sqrt{2+x^2+x^4}\right)\right)}$
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}\right]^{x^2 \ln x}$