解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{1-\mathrm{e}^{-x}}-\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt{\sin x}}$.
计算积分 $\int_0^1 \frac{1}{x+\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$.
计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+3)}{2^n}$.
设 $D$ 是由 $y=x^3, y=-c^3, x=-c(c \neq 0)$ 围成的积分区域,且 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的连续函数, 求二重积分
$$
\iint_D x(1+y f(1+|\sin x|+\cos y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
设立体区域 $\Omega$ 是由 $O y z$ 面曲线 $y^2+z^4-4 z^2=0, z \geq 0$ 绕 $z$ 轴旋转一周所形成的曲面和 $O x y$ 平面所围成的点 $(x, y, z) \in \Omega$ 处的密度为 $z=u(x, y, z)$, 求重心坐标.
设 $a>1$, 且.
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^a, & x \text { 为有理数 } \\
0, & x \text { 为无理数 }
\end{array} .\right.
$$
讨论 $f(x)$ 的可微性.
证明含参变量积分
$$
\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha x^2} \mathrm{~d} x
$$
在 $0 \leq \alpha_0 \leq \alpha < +\infty$ 上一致收敛,并问其在 $0 < \alpha < +\infty$ 上是否一致收敛.
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导, 且满足 $f_{+}^{\prime}(a) < c < f_{-}^{\prime}(b)$, 证明: 存在 $\xi \in(a, b)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=c$.
给出函数 $f(x)=2[x]-[2 x]$ 的最小正周期并给予证明.
设 $\alpha>0$, 若 $n x_n=1+o\left(n^{-\alpha}\right)$, 则数列 $x_1+x_2+\cdots+x_n-\ln n$ 收敛.
设一元函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, 且存在两个正数 $A < B$ 满足 $A < \left|f^{\prime}(x)\right| < B$,证明: $f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上一致连续,但 $f\left(x^3+y^3\right)$ 在 $\mathbb{R}^3$ 上不一致连续.
若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $\left(2-a_n\right) a_{n+1}=1$, 证明:
(a)存在正整数 $k$, 使得 $a_k \leq 1$.
(b) 数列 $\left\{a_n\right\}$ 存在极限, 并求其极限值.
(c) 若 $a_1 \neq 1$, 则 $a_n(n=1,2, \cdots)$ 两两不等.
(d) 满足题设且 $a_1 \neq 1$ 的数列 $\left\{a_n\right\}$ 存在.