解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求定积分: $\int_0^\pi \cos ^2 x \mathrm{~d} x$.
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)$.
求定积分: $\int_0^1 \ln (1+\sqrt{x}) \mathrm{d} x$.
求定积分: $\int_0^1 \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \mathrm{d} x$.
求广义积分: $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \cos (a x) \mathrm{d} x$, 其中 $a$ 为常数.
求曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 在 $x \in[1,2]$ 上的弧长.
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
x y \sin \frac{1}{x^2+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0 \\
0, & x^2+y^2=0
\end{array} ;\right.
$$
证明:
(1) $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} f(t \cos \alpha, t \sin \alpha)=f(0,0)$;
(2) $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=f(0,0)$.
已知函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2 y}{x^4+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2+y^2=0\end{array}\right.$;
证明: (1) $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0), \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ 存在;
(2) $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y), \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续;
(3) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处不可微.
证明: $\int_0^{\sqrt{2 \pi}} \sin \left(x^2\right) \mathrm{d} x>0$.
设 $\mathbb{R}^m$ 是 $m$ 维实向量空间, 若 $\varphi(\vec{x})=\|\vec{x}\|$ 满足:
(a) $\forall \vec{x} \in \mathbb{R}^m, \varphi(\vec{x}) \geqslant 0$, 当且仅当 $\vec{x}=\overrightarrow{0}$ 时取等;
(b) $\forall \alpha \in \mathbb{R}, \quad \vec{x} \in \mathbb{R}^m, \quad \varphi(\alpha \vec{x})=\alpha \varphi(\vec{x})$;
(c) $\forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^m, \varphi(\vec{x}+\vec{y}) \leqslant \varphi(\vec{x})+\varphi(\vec{y})$.
则称 $\varphi(\vec{x})=\|\vec{x}\|$ 是 $\mathbb{R}^m$ 上的范数, 证明:
(1) $\forall \vec{x}=\left(x_1, x_2, \cdots, x_m\right), \quad\|\vec{x}\|_1=\sum_{k=1}^m\left|x_k\right|, \quad\|\vec{x}\|_2=\left(\sum_{k=1}^m x_k^2\right)^{\frac{1}{2}}$,
$\|\vec{x}\|_{\infty}=\max _{1 \leqslant k \leqslant m}\left|x_k\right|$ 是 $\mathbb{R}^m$ 上的范数;
(2) $\varphi(\vec{x})=\|\vec{x}\|$ 在 $\mathbb{R}^m$ 上是一致连续函数.
(3)设 $\|\cdot\|$ 是 $\mathbb{R}^m$ 上的任意一个范数, 则 $\forall \vec{x} \in \mathbb{R}^m, \exists M_1, M_2>0$;
使得: $M_1\|\vec{x}\|_1 \leqslant\|\vec{x}\| \leqslant M_2\|\vec{x}\|_1$.
(1)方程 $x y+e^{y^2}-x=0$ 确定隐函数 $y=y(x)$, 求曲线 $y=y(x)$ 在点 $(1,0)$ 处的切线方程.
(2) 求微分方程 $y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}-6 y=x e^{-2 x}$ 的通解.