单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
下列函数中, 在 $x=0$ 处不可导的是 ( )
$\text{A.}$ $f(x)=|x| \sin |x|$.
$\text{B.}$ $f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$.
$\text{C.}$ $f(x)=\cos |x|$.
$\text{D.}$ $f(x)=\cos \sqrt{|x|}$.
过点 $(1,0,0),(0,1,0)$, 且与曲面 $z=x^2+y^2$ 相切的平面为 ( )
$\text{A.}$ $z=0$ 与 $x+y-z=1$.
$\text{B.}$ $z=0$ 与 $2 x+2 y-z=2$.
$\text{C.}$ $x=y$ 与 $x+y-z=1$.
$\text{D.}$ $x=y$ 与 $2 x+2 y-z=2$.
$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{2 n+3}{(2 n+1) !}=$
$\text{A.}$ $\sin 1+\cos 1$.
$\text{B.}$ $2 \sin 1+\cos 1$.
$\text{C.}$ $2 \sin 1+2 \cos 1$
$\text{D.}$ $2 \sin 1+3 \cos 1$.
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^2}{1+x^2} \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$, 则
$\text{A.}$ $M>N>K$.
$\text{B.}$ $M>K>N$.
$\text{C.}$ $K>M>N$.
$\text{D.}$ $K>N>M$.
下列矩阵中 , 与矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 相似的为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶矩阵,记 $r(\boldsymbol{X})$ 为矩阵 $\boldsymbol{X}$ 的秩, $(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ 表示分块矩阵,则 ( )
$\text{A.}$ $r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A B})=r(\boldsymbol{A})$.
$\text{B.}$ $r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A})$.
$\text{C.}$ $ r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})=\max \{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\}$
$\text{D.}$ $r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})=r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)$.
设随机变量 $X$ 的概率密度 $f(x)$ 满足 $f(1+x)=f(1-x)$, 且 $\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=0.6$, 则 $P\{X < 0\}=$ ( )
$\text{A.}$ $0.2$
$\text{B.}$ $0.3$.
$\text{C.}$ $0.4$
$\text{D.}$ $0.5$.
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right) . X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, 据此样本检验 假设: $H_0: \mu=\mu_0, H_1: \mu \neq \mu_0$, 则 ( )
$\text{A.}$ 如果在检验水平 $\alpha=0.05$ 下拒绝 $H_0$, 那么 $\alpha=0.01$ 下必拒绝 $H_0$.
$\text{B.}$ 如果在检验水平 $\alpha=0.05$ 下拒绝 $H_0$, 那么 $\alpha=0.01$ 下必接受 $H_0$.
$\text{C.}$ 如果在检验水平 $\alpha=0.05$ 下接受 $H_0$, 那么 $\alpha=0.01$ 下必拒绝 $H_0$.
$\text{D.}$ 如果在检验水平 $\alpha=0.05$ 下接受 $H_0$, 那么 $\alpha=0.01$ 下必接受 $H_0$.
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right)^{\frac{1}{\sin k x}}=\mathrm{e}$, 则 $k=$
设函数 $f(x)$ 具有 2 阶连续导数. 若曲线 $y=f(x)$ 过点 $(0,0)$ 且与曲线 $y=2^x$ 在点 $(1,2)$ 处相 切, 则 $\int_0^1 x f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x=$
设 $\boldsymbol{F}(x, y, z)=x y \boldsymbol{i}-y z \boldsymbol{j}+z x \boldsymbol{k}$, 则 $\operatorname{rot} \boldsymbol{F}(1,1,0)=$
设 $L$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线, 则 $\oint_L x y \mathrm{~d} s=$
设 2 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有两个不同特征值, $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的线性无关的特征向量, 且满足 $\boldsymbol{A}^2\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\right)=$ $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2$, 则 $|\boldsymbol{A}|=$
设随机事件 $A$ 与 $B$ 相互独立, $A$ 与 $C$ 相互独立, $B C=\varnothing$. 若 $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}, P(A C \mid A B \cup C)$ $=\frac{1}{4}$, 则 $P(C)=$
求不定积分 $\int \mathrm{e}^{2 x} \arctan \sqrt{\mathrm{e}^x-1} \mathrm{~d} x$.
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
将长为 $2 \mathrm{~m}$ 的铁丝分成三段, 依次围成圆、正方形与正三角形. 三个图形的面积之和是否存在 最小值?若存在,求出最小值.
设 $\Sigma$ 是曲面 $x=\sqrt{1-3 y^2-3 z^2}$ 的前侧, 计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(y^3+2\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
已知微分方程 $y^{\prime}+y=f(x)$, 其中 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的连续函数.
(I) 若 $f(x)=x$, 求方程的通解;
(II) 若 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的函数,证明: 方程存在唯一的以 $T$ 为周期的解.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足: $x_1>0, x_n \mathrm{e}^{x_{n+1}}=\mathrm{e}^{x_n}-1(n=1,2, \cdots)$. 证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
设实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2+\left(x_1+a x_3\right)^2$, 其中 $a$ 是参数.
(I) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解;
(II) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形.
已知 $a$ 是常数, 且矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a\end{array}\right)$ 可经初等列变换化为矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$.
(I) 求 $a$;
(II) 求满足 $\boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, $X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=P\{X=-1\}=\frac{1}{2}, Y$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布. 令 $Z=X Y$.
(I) 求 $\operatorname{Cov}(X, Z)$;
(II) 求 $Z$ 的概率分布.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\sigma}},-\infty < x < +\infty,
$$
其中 $\sigma \in(0,+\infty)$ 为末知参数, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本. 记 $\sigma$ 的最大似 然估计量为 $\hat{\sigma}$.
(I) 求 $\hat{\sigma}$;
(II) 求 $E(\hat{\sigma}), D(\hat{\sigma})$.