单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 连续,则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{0}^{x} t f\left(x^{2}-t^{2}\right) \mathrm{d} t=(\quad)$
$\text{A.}$ $x f\left(x^{2}\right)$.
$\text{B.}$ $-x f\left(x^{2}\right)$.
$\text{C.}$ $2 x f\left(x^{2}\right)$.
$\text{D.}$ $-2 x f\left(x^{2}\right)$.
函数 $f(x)=\left(x^{2}-x-2\right)\left|x^{3}-x\right|$ 不可导点的个数是 $(\quad)$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
已知函数 $y=y(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\Delta y=\frac{y \Delta x}{1+x^{2}}+\alpha$, 且当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时, $\alpha$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷 小, $y(0)=\pi$, 则 $y(1)$ 等于 $(\quad)$
$\text{A.}$ $2 \pi$.
$\text{B.}$ $\pi$.
$\text{C.}$ $\mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}$.
$\text{D.}$ $\pi \mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}$.
设矩阵 $\left(\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right)$ 是满秩的, 则直线 $\frac{x-a_{3}}{a_{1}-a_{2}}=\frac{y-b_{3}}{b_{1}-b_{2}}=\frac{z-c_{3}}{c_{1}-c_{2}}$ 与直线 $\frac{x-a_{1}}{a_{2}-a_{3}}=\frac{y-b_{1}}{b_{2}-b_{3}}=$ $\frac{z-c_{1}}{c_{2}-c_{3}}(\quad)$
$\text{A.}$ 相交于一点
$\text{B.}$ 重合
$\text{C.}$ 平行倡不重合
$\text{D.}$ 异面
设 $A, B$ 是两个随机事件,且 $0 < P(A) < 1, P(B)>0, P(B \mid A)=P(B \mid \bar{A})$, 则必有
$\text{A.}$ $P(A \mid B)=P(\bar{A} \mid B)$.
$\text{B.}$ $P(A \mid B) \neq P(\bar{A} \mid B)$.
$\text{C.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$.
$\text{D.}$ $P(A B) \neq P(A) P(B)$.
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}}=$
设 $z=\frac{1}{x} f(x y)+y \varphi(x+y), f, \varphi$ 具有二阶连续导数, 则 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$
设 $l$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$, 其周长记为 $a$, 则 $\oint_{l}\left(2 x y+3 x^{2}+4 y^{2}\right) \mathrm{d} s=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵, $|\boldsymbol{A}| \neq 0, \boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵. 若 $\boldsymbol{A}$ 有特征值 $\lambda$, 则 $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{2}+\boldsymbol{E}$ 必有特征值
设平面区域 $D$ 由曲线 $y=\frac{1}{x}$ 及直线 $y=0, x=1, x=\mathrm{e}^{2}$ 所围成, 二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布, 则 $(X, Y)$ 关于 $X$ 的边缘概率密度在 $x=2$ 处的值为
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求直线 $l: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$ 在平面 $\pi: x-y+2 z-1=0$ 上的投影直线 $l_{0}$ 的方程, 并求 $l_{0}$ 绕 $y$ 轴 旋转一周所成曲面的方程.
确定常数 $\boldsymbol{\lambda}$, 使在右半平面 $x>0$ 上的向量 $\boldsymbol{A}(x, y)=2 x y\left(x^{4}+y^{2}\right)^{\lambda} \boldsymbol{i}-x^{2}\left(x^{4}+y^{2}\right)^{\lambda} \boldsymbol{j}$ 为某二元函数 $u(x, y)$ 的梯度, 并求 $u(x, y)$.
从船上向海中沉放某种探测器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 $y$ (从海平面算起) 与下沉速度 $v$ 之间的函数关系. 设仪器在重力作用下, 从海平面由静止开始铅直下沉, 在下沉过程中还受到阻 力和浮力的作用. 设仪器的质量为 $m$, 体积为 $B$, 海水比重为 $\rho$, 仪器所受的阻力与下沉速度成正 比, 比例系数为 $k(k>0)$. 试建立 $y$ 与 $v$ 所满足的微分方程, 并求出函数关系式 $y=y(v)$.
计算 $\iint_{\Sigma} \frac{a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$, 其中 $\Sigma$ 为下半球面 $z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧, $a$ 为大于零的常数.
求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\sin \pi}{n+\frac{1}{n}}\right)$.
设正项数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少, 且 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 发散, 试问级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{a_{n}+1}\right)^{n}$ 是否收敛?并说明理由.
设 $y=f(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上的任一非负连续函数.
(1) 试证存在 $x_{0} \in(0,1)$, 使得在区间 $\left[0, x_{0}\right]$ 上以 $f\left(x_{0}\right)$ 为高的矩形面积, 等于在区间 $\left[x_{0}, 1\right]$ 上以 $y=f(x)$ 为曲边的梯形面积.
(2) 又设 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内可导,且 $f^{\prime}(x)>-\frac{2 f(x)}{x}$, 证明 $(1)$ 中的 $x_{0}$ 是唯一的.
已知二次曲面方程 $x^{2}+a y^{2}+z^{2}+2 b x y+2 x z+2 y z=4$ 可以经过正交变换
$$
\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{l}
\xi \\
\eta \\
\zeta
\end{array}\right)
$$
化为椭圆柱面方程 $\eta^{2}+4 \zeta^{2}=4$, 求 $a, b$ 的值和正交矩阵 $\boldsymbol{P}$.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 若存在正整数 $k$, 使线性方程组 $\boldsymbol{A}^{k} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有解向量 $\boldsymbol{\alpha}$, 且 $\boldsymbol{A}^{k-1} \boldsymbol{\alpha} \neq \mathbf{0}$. 证明: 向量组 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}, \cdots, \boldsymbol{A}^{k-1} \boldsymbol{\alpha}$ 是线性无关的.
已知线性方程组
$$
\text { ( I ) }\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1,2 n} x_{2 n}=0, \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2,2 n} x_{2 n}=0, \\
\cdots \cdots \\
a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n, 2 n} x_{2 n}=0
\end{array}\right.
$$
的一个基础解系为 $\left(b_{11}, b_{12}, \cdots, b_{1,2 n}\right)^{\mathrm{T}},\left(b_{21}, b_{22}, \cdots, b_{2,2 n}\right)^{\mathrm{T}}, \cdots,\left(b_{n 1}, b_{n 2}, \cdots, b_{n, 2 n}\right)^{\mathrm{T}}$. 试写出线性方程组 || 的
$$
\left\{\begin{array}{c}
b_{11} y_{1}+b_{12} y_{2}+\cdots+b_{1,2 n} y_{2 n}=0 \\
b_{21} y_{1}+b_{22} y_{2}+\cdots+b_{2,2 n} y_{2 n}=0 \\
\cdots \cdots \\
b_{n 1} y_{1}+b_{n 2} y_{2}+\cdots+b_{n, 2 n} y_{2 n}=0
\end{array}\right.
$$
的通解, 并说明理由.
设两个随机变量 $X, Y$ 相互独立, 且都服从均值为 0 , 方差为 $\frac{1}{2}$ 的正态分布, 求随机变量 $|X-Y|$ 的 方差.
从正态总体 $N\left(3.4,6^{2}\right)$ 中抽取容量为 $n$ 的样本, 如果要求其样本均值位于区间 $(1.4,5.4)$ 内的概 率不小于 $0.95$, 问样本容量 $n$ 至少应取多大?
附表:标准正态分布表
$$
\Phi(z)=\int_{-\infty}^{z} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1^{2}}{2}} \mathrm{~d} t
$$
设某次考试的考生成绩服从正态分布, 从中随机地抽取 36 位考生的成绩,算得平均成绩为 $66.5$ 分, 标准差为 15 分. 问在显著性水平 $0.05$ 下, 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分?并 给出检验过程.
附表: $t$ 分布表
$$
P\left\{t(n) \leqslant t_{p}(n)\right\}=p
$$
