单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\ln (1+x)$ 与 $x$ 比较是 ( ).
$\text{A.}$ 高阶的无穷小
$\text{B.}$ 等价的无穷小
$\text{C.}$ 同阶的无穷小
$\text{D.}$ 低阶的无穷小
函数 $f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$, 则 $x=3$ 是 $f(x)$ 的
$\text{A.}$ 连续点
$\text{B.}$ 可去间断点
$\text{C.}$ 跳跃间断点
$\text{D.}$ 无穷间断点
设 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0-\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=$.
$\text{A.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)$
$\text{B.}$ $-f^{\prime}\left(x_0\right)$
$\text{C.}$ $2 f^{\prime}\left(x_0\right)$
$\text{D.}$ 不存在
当 $x \rightarrow \infty$ 时, $\left(1-\frac{1}{x}\right)^x$ 的极限为 ( )。
$\text{A.}$ $e$
$\text{B.}$ $\frac{1}{e}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 不存在
已知 $f(x)=\sin ^2 x$, 则 $f^{\prime}(x)=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\cos ^2 x$
$\text{B.}$ $2 \sin x$
$\text{C.}$ $2 \cos x$
$\text{D.}$ $\sin 2 x$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $y=e^x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=$
$d \underline{}=\cos t d t$;
若可导函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极大值, 则必有 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 等于
函数 $y=x^n e^{-x}(n>0, x \geq 0)$ 的单调增区间
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{\sin 2 x}$.
求由方程 $y^2+2 \ln y=x^4$ 所确定的隐函数 $y$ 的导数$\frac{d y}{d x}$
试证明对函数 $y=p x^2+q x+r$ 应用拉格朗日中值定理时所求得的点 $\xi$ 总位于区间的正中间.
证明：当 $x>0$ 时, $1+\frac{1}{2} x>\sqrt{1+x}$ 。
假设某种商品的需求量 $Q$ 是单价 $P$ 的函数 $Q=12000-80 P$, 商品的总成本 $C$ 是需求量 $Q$ 的函数 $C=25000+50 Q$, 每单位商品需纳税 2 . 试求使销售利润最大的商品价格和最大利润.