单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $Q(x, y)=\frac{x}{y^2}$ ．如果对上半平面 $(y>0)$ 内的任意有向光滑封闭曲线 $C$ 都有 $\oint_C P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=0$ ，那么函数 $P(x, y)$ 可取为
$\text{A.}$ $y-\frac{x^2}{y^3}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{y}-\frac{x^2}{y^3}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$ ．
$\text{D.}$ $x-\frac{1}{y}$ ．
设 $S: x^2+y^2+z^2=a^2(z \geqslant 0), S_1$ 为 $S$ 在第一卦限中的部分，则有
$\text{A.}$ $\iint_S x \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_1} x \mathrm{~d} S$ ．
$\text{B.}$ $\iint_S y \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_1} x \mathrm{~d} S$ ．
$\text{C.}$ $\iint_S z \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_1} x \mathrm{~d} S$ ．
$\text{D.}$ $\iint_S x y z \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_1} x y z \mathrm{~d} S$ ．
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $L$ 为椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ ，其周长记为 $a$ ，则 $\oint_L\left(2 x y+3 x^2+4 y^2\right) \mathrm{d} s=$
设 $L$ 为螺旋线 $x=a \cos t, y=a \sin t, z=b t(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 的一段，则 $\int_L\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} s$
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求摆线 $L:\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t)\end{array}(a>0,0 \leqslant t \leqslant \pi)\right.$ 的质心，设曲线的质量分布是均匀的．
已知 $L$ 是第一象限中从点 $(0,0)$ 沿圆周 $x^2+y^2=2 x$ 到点 $(2,0)$ ，再沿圆周 $x^2+y^2=4$ 到点
$(0,2)$ 的曲线段，计算曲线积分 $I=\int_L 3 x^2 y \mathrm{~d} x+\left(x^3+x-2 y\right) \mathrm{d} y$ ．
求 $I=\int_L\left[\mathrm{e}^x \sin y-b(x+y)\right] \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^x \cos y-a x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $a, b$ 为正常数，$L$ 为从点 $A(2 a, 0)$ 沿曲线 $y=\sqrt{2 a x-x^2}$ 到点 $O(0,0)$ 的弧．
计算曲面积分 $\iint_{\Sigma} z \mathrm{~d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 在柱体 $x^2+y^2 \leqslant 2 x$ 内的部分．
设 $\Sigma$ 为曲面 $z=x^2+y^2, z \in[0,1]$ 的上侧，则 $\iint_{\Sigma}(2 x+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
设 $\Sigma$ 为曲面 $x^2+y^2+4 z^2=4(z \geqslant 0)$ 的上侧，则 $\iint_{\Sigma} \sqrt{4-x^2-4 z^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
设有界区域 $\Omega$ 由平面 $2 x+y+2 z=2$ 与三个坐标平面围成，$\Sigma$ 为 $\Omega$ 整个表面的外侧，计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma}\left(x^2+1\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-2 y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+3 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
设 $\Sigma$ 是锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的下侧，则 $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+3(z-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
设 $L$ 是柱面 $x^2+y^2=1$ 与平面 $y+z=0$ 的交线，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 $\oint_L z \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} z=$
已知 $\Sigma$ 是曲面 $4 x^2+y^2+z^2=1(x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0)$ 的上侧，$L$ 是 $\Sigma$ 的边界曲线，其正向与 $\Sigma$ 的正法向量满足右手法则，计算曲线积分 $I=\oint_L\left(y z^2-\cos z\right) \mathrm{d} x+2 x z^2 \mathrm{~d} y+(2 x y z+x \sin z) \mathrm{d} z$ ．
设 $\boldsymbol{F}(x, y, z)=x y \boldsymbol{i}-y z \boldsymbol{j}+z x \boldsymbol{k}$ ，求 $\boldsymbol{\operatorname { r o t }} \boldsymbol{F}(1,1,0)=$